Baris dan Deret

By | July 20, 2017

Sekumpulan bilangan dapat membentuk suatu pola tertentu seperti yang terlihat pada contoh barisan bilangan di bawah.

Pola baris bilangan

  1. Pola bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, …
      Pola bilangan: n, n bilangan asli
  2. Pola bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, …
      Pola bilangan: 2n-1, n bilangan asli
  3. Pola bilangan genap: 2, 4, 6, 8, …
      Pola bilangan: 2n, n bilangan asli
  4. Pola bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, …
      Pola bilangan: n^{2}, n bilangan asli
    Bilangan Persegi
  5. Pola bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, …
      Pola bilangan: \frac{1}{2}n(n+1)
    Bilangan Segitiga

Baris dan deret dalam pembelajaran Matematika SMP dibedakan menjadi dua yaitu aritmetika dan geometri. Materi baris dan deret aritmetika dan geometri berguna untuk memudahkan dalam menghitung sejumlah tertentu. Pastinya secara lebih cepat. Contohnya adalah menjumlahkan bilangan 1 sampai dengan 100. Coba hitung! Apakah jawaban yang kalian peroleh adalah 5050? Berapa waktu yang sobat idSCHOOL butuhkan untuk menghitungnya? Jika menghitung secara manual, pasti akan memakan waktu yang lama. Sekarang coba perhatikan TRIK berikut.
 
Baris dan Deret Gemoetri dan Aritmetika
 
Perhatikan keunikan pada penjumlahan tiap kolom di atas. Seluruh kolom pada baris di atas, jumlah masing-masingnya adalah 101. Hasil di atas membentuk bilangan 101 sejumlah 100 kali. Dengan mudah, kita bisa mendapatkan hasilnya yaitu 101 \times 100 = 10.100. Bilangan 101 sejumlah 100 kali terbentuk dari dua buah deret. Untuk mengetahui jumlah satu deretnya, hasil akhirnya perlu dibagi dua.

    \[\frac{101 \times 100}{2} = \frac{10.100}{2}=5.050\]

Begitulah cara cepat untuk mengetahui jumlah bilangan 1 sampai dengan 100. Selanjutnya, ilmu ini berkembang menjadi baris dan deret. Pembahasan mengenai masing-masing jenis baris dan deret dapat disimak pada pembahasan di bawah.

 

Aritmetika

Barisan Aritmetika mempunyai ciri-ciri yaitu selisih/beda antara dua suku yang berurutan selalu sama atau tetap. Perhatikan dua contoh barisan Aritmetika di bawah yang meliputi barisan aritmerika naik dan barisan aritmetika turun.
 
Barisan Aritmetika

 
Suku ke-n menunjuk pada suku pada urutan ke-n, lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut.
 
Suku ke n Barisan Geometri

 
Berdasarkan pola barisan aritmetika, terdapat rumus yang dapat digunakan untuk mempermudah mencari suku ke-n.

 
Rumus suku ke-n pada Barisan Aritmetika

    \[U_{n} = a + (n - 1)b \]

Keterangan:
      U_{n} = suku ke-n
      a = suku pertama
      b = beda/selisih = U_{n}  -  U_{n-1}

Penjumlahan suku-suku pada barisan aritmetika membentuk sebuah deret yang disebut dengan deret aritmetika.
 
Deret Aritmetika
 
Rumus di bawah dapat digunakan untuk mencari jumlah n suku pertama.

 
Jumlah n suku pertama pada barisan aritmetika

    \[S_{n} = \frac{n}{2} \left( a + U_{n} \right) \]

atau

    \[S_{n} = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)b \right) \]

Keterangan:
      S_{n} = jumlah n suku pertama
      U_{n} = suku ke-n
      a = suku pertama
      b = beda/selisih = U_{n}  -  U_{n-1}

 

Geometri

Barisan Geometri mempunyai ciri-ciri memiliki perbandingan/rasio antara dua suku yang berurutan selalu sama atau tetap. Perhatikan dua contoh barisan Geometri di bawah yang meliputi barisan geometri naik dan barisan geometri turun.
 
BarisanGeometri
 
Suku ke-n menunjuk pada suku pada urutan ke-n, lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut.
 

 
Berdasarkan pola barisan aritmetika, terdapat rumus yang dapat digunakan untuk mempermudah mencari suku-n.
 
Rumus suku ke-n pada Barisan Geometri

    \[U_{n} = ar^{(n-1)} \]

Keterangan:
      U_{n} = suku ke-n
      a = suku pertama
      r = rasio = \frac{U_{n}}{U_{n-1}}

 
Penjumlahan suku-suku pada barisan geometri membentuk sebuah deret yang disebut dengan deret geometri.
 
Deret Geometri
 
Rumus di bawah dapat digunakan untuk mencari jumlah n suku pertama.

 
Jumlah n suku pertama pada Barisan Geometri
untuk r > 1

    \[S_{n} = \frac{a \left( r^{n} - 1 \right)}{r - 1}  \]

untuk r < 1

    \[S_{n} = \frac{a \left( 1 - r^{n} \right)}{1 - r} \]

 
Keterangan:
      S_{n} = jumlah n suku pertama
      U_{n} = suku ke-n
      a = suku pertama
      r = rasio = = \frac{U_{n}}{U_{n-1}}

 
Contoh Soal dan Pembahasan
Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian yang ukurannya membentuk deret geometri. Jika panjang potongan tali terpendek 4 cm dan panjang potongan tali terpanjang 324 cm, maka panjang tali semula adalah …. (SOAL UN MATEMATIKA SMP 2016)
A.     328 cm
B.     484 cm
C.     648 cm
D.     820 cm
 
Pembahasan:
Tali membuat Barisan geometri seperti terlihat pada gambar di bawah.
 
SOAL UN matematika SMP 2016
 
dengan
U_{1} adalah tali terpendek = 4 cm
U_{5} adalah sampai terpanjang = 324 cm
Sehingga,
 

    \[U_{5} = 324\]

    \[ar^{4} = 324 \]

    \[4 \times r^{4} = 324 \]

    \[r^{4} = \frac{324}{4} \]

    \[r^{4} = 81 \]

    \[r = 3 \]

Sehingga barisan geometrinya menjadi 4, 12, 36, 108, dan 324.
Panjang tali semula adalah 4 + 12 + 36 + 108 + 324 = 484 cm.
Jawaban: B
 
Sekian materi baris dan deret untuk tingkat smp. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat!