Garis Singgung Lingkaran

By | July 31, 2017

Pembahasan materi di halaman ini adalah materi garis singgung lingkaran untu tingkat SMP. Di tingkat SMA, sobat idschool juga akan mempelajari tentang garis singgung lingkaran, namun dengan tingkat yang lebih sulit. Ulasan materi yang diberikan di berupa garis singgung lingkaran persekutuan dalam dan garis singgung lingkaran persekutuan dalam. Untuk materi lanjutan di SMA dapat disimak melalui halaman ini.

Sebenarnya tidak ada rumus baru terkait garis singgung lingkaran yang dipelajari di SMP. Rumus yang ada pada persamaan garis singgung lingkaran hanya menggunakan konsep pada teorema phytagoras. Jadi, jika sobat idSCHOOL paham dengan konsep pada teorema phytagoras, materi mengenai garis singgung lingkaran akan menjadi mudah.

Terdapat dua garis singgung lingkaran yang akan idschool sampaikan, yaitu garis singgung lingkaran persekutuan dalam dan garis singgung lingkaran persekutuan luar. Mari simak bersama materi mengenai garis singgung lingkaran pada pembahasan di bawah.

 
 

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Ulasan materi terkait garis singgung lingkaran yang pertama akan dibahas adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Persamaan garis singgung lingkaran persekutuan luar melibatkan dua lingkaran dan sebuah garis singgung lingkaran. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah.

 
Garis singgung lingkaran
 

Garis AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Konsep untuk mengetahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah teorema pythagoras. Langkah pertama adalah proyeksikan titik P ke garis OA. Panjang garis PP’ sama dengan garis AB, sehingga dengan menghitung panjang PP’ maka kita juga akan mendapatkan panjang AB (garis singgung persekutuan dua lingkaran).

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

    \[ PP' = \sqrt{OP^{2}-\left( OP'\right)^{2}} \]

Karena OP' = OA - BP = R - r maka,

    \[ PP' = \sqrt{OP^{2} - \left( R - r\right)^{2}} \]

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan luar dua llingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran:

    \[ AB = PP' = \sqrt{OP^{2}-(R-r)^{2}} \]

Keterangan:
        AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran
        OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran
        R = Jari-jari lingkaran besar
        r = jari-jari lingkaran kecil

 

    Baca Juga:

  1. Unsur Lingkaran
  2. Cara Menghitung Panjang Busur, Luas Juring, serta Luas Tembereng

Selanjutnya simak bentuk garis singgung lingkaran yang lainnya, yaitu garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.

 

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Seperti halnya garis singgung persekutuan luas dua lingkaran, garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik singgung lingkaran pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan dua titik singgung lingkaran pada garis singggung persekutuan dalam dua lingkaran terletak bersebrangan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah!
 
Garis singgung lingkaran
 

Sama halnya dengan garis singgung persekutuan dalam, garis singgung persekutuan luar juga didapat dengan menerapkan konsep teorema phytagoras.

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

    \[ PP' = \sqrt{OP^{2}-\left( OP'\right)^{2}} \]

Karena OP' = OA + BP = R + r maka,

    \[ PP' = \sqrt{OP^{2} - \left( R + r\right)^{2}} \]

 

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua llingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan dalam

    \[ AB = PP' = \sqrt{OP^{2} - (R + r)^{2}} \]

Keterangan:
        AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran
        OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran
        R = Jari-jari lingkaran besar
        r = jari-jari lingkaran kecil
 

Begitulah rumus mencari garis singgung lingkaran yang melibatkan dua lingkaran. Selanjutnya, sobat idschool dapat menyimak contoh soal garis singgung persekutuan luar lingkaran dan garis singgung persekutuan dalam lingkaran.

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran (SOAL UN Matematika SMP 2016)
Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….
A.     6 cm
B.     8 cm
C.     9 cm
D.     10 cm
 
Pembahasan:
Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.
 
garis singgung lingkaran persekutuan luar
 

    \[AB =\sqrt{OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}}\]

    \[AB^{2} =OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}\]

    \[24^{2} =26^{2}-\left( 18 - r\right)^{2}\]

    \[676 =576 - \left( 18 - r\right)^{2}\]

    \[\left( 18 - r\right)^{2} =676 - 576 \]

    \[\left( 18 - r\right)^{2} = 100 \]

    \[ 18 - r = 10 \]

    \[ - r = 10 -18 \]

    \[ - r = -8 \rightarrow r = 8 \; cm \]

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.
Jawaban: D

 
Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Perhatikan gambar berikut!
 
garis singgung lingkaran dalam
 
Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah ….
A.     12 cm
B.     15 cm
C.     17 cm
D.     20 cm
 
Pembahasan:

    \[ AB = \sqrt{OP^{2} - PC^{2}} \]

    \[ AB = \sqrt{OP^{2} - \left( R + r\right)^{2}} \]

    \[ AB = \sqrt{25^{2} - \left( 10 + 5\right)^{2}} \]

    \[ AB = \sqrt{625 - 225} \]

    \[ AB = \sqrt{400} \]

    \[ AB = 20 \; cm \]

Jadi, panjang garis singgung AB adalah 20 cm.
Jawaban: D
 

Sekian pembahasan mengenai garis singgung lingkaran tingkat SMP yang memuat rumus garis singgung lingkaran persekutuan dalam dan garis singgung lingkaran persekutuan luar. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

 
Baca Juga: Mengulang Rumus Luas Lingkaran