Kesebangunan dan Kekongruenan

By | July 23, 2017

Kesebangunan dan kekongruenan merupakan bagian dari ilmu geometri. Materi yang akan disampaikan meliputi kesebangunan dan kekongruenan. Bangun datar yang akan dibahas meliputi segitiga dan trapesium. Materi mengenai kesebangunan dan kekongruenan sering muncul dalam kisi-kisi ujian nasional. Materinya cukup mudah untuk dipelajari.

 

Kesebangunan

Hubungan antara dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi syarat berikut.
      Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
      Panjang sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama
Kesebangunan dinotasikan dengan \approx

 
Kesebangunan pada Segitiga
Bentuk 1
Kesebangunan Segitiga

    \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]

atau

    \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}  =\frac{DE}{BC - DE}  \]

 
Bentuk 2
Kesebangunan Segitiga

    \[BC^{2} = CD \times CA \]

    \[BA^{2} = AD \times AC \]

    \[BD^{2} = DA \times DC \]

 
Kesebangunan pada Trapesium
Bentuk 1
Kesebangunan Trapesium

    \[ x = \frac{(DC \times AE)+ (AB \times DE)}{AE + DE} \]

atau

    \[ x = \frac{(DC \times BF)+ (AB \times CF)}{CF + BF} \]

 
Bentuk 2
Kesebangunan Trapesium

Ket: E dan F berturut-turut adalah titik tengah AC dan BD.
 

    \[EF =\frac{1}{2} \left(AB - CD \right) \]

 

Lihat penurunan rumus kesebangunan trapesium di sini!

 

Kekongruenan

Dua benda atau lebih dikatakan kongruen jika memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Kekongruenan dilambangkan dengan \cong.
Syarat Kekongruean pada segitiga:
\cdot   Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi)
\cdot   Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar (sisi, sudut, sisi)
\cdot   Satu sisi dan dua sudut yang bersesuaian pada sisi itu sama besar (sudut, sisi, sudut)
 
Perhatikan gambar segitiga di bawah!
kongruen
Pasangan segitiga yang kongruen pada di atas tersebut adalah

    \[ \Delta ABG \cong \Delta EDH \]

    \[ \Delta BGC \cong \Delta DHC \]

    \[ \Delta ABF \cong \Delta DFE \]

    \[ \Delta ACD \cong \Delta ECB \]

    \[ \Delta ABC \cong \Delta EDC \]

    \[ \Delta ABD \cong \Delta EDB \]

    \[ \Delta AGF \cong \Delta EHF \]

    \[ \Delta ACH \cong \Delta EGC \]

Jadi, banyaknya segitiga yang kongruen ada 8 pasang.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Variasi soal pada kesebangunan dan kekongruenan sangat banyak. Berikut ini ada tiga tipe contoh soal yang keluar di Ujian Nasional beserta pembahasannya.

 

Contoh 1

Febri mempunyai tinggi badan 150 cm. Ia berdiri pada titik yang berjarak 10 m dari sebuah gedung. Ujung bayangan Febri berimpit dengan ujung bayangan gedung. Jika panjang bayangan Febri adalah 4 m, maka tinggi gedung adalah ….
A. 5,25 m
B. 5,50 m
C. 6,25 m
D. 6,75 m
SOAL UN MATEMATIKA SMP 2016

Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
kesebangunan dan kekongruenan
 
Perhatikan segitiga ABE dan segitiga ACD!
Berdasarkan prinsip kesebangunan dapat diperoleh \frac{EB}{DC} = \frac{AB}{AC}
Sehingga,

    \[\frac{1,5}{DC} = \frac{4}{14} \]

    \[DC = \frac{1,5 \times 14}{4} \]

    \[DC = 5,25 \; m \]

Jawaban: A

 

Contoh 2

Perhatikan gambar berikut!
kesebangunan dan kekongruenan
 
Jika CF : FB = 2 : 3 dan CD = 12 cm, maka panjang EF adalah ….
A. 6 cm
B. 9 cm
C. 12 cm
D. 18 cm
SOAL UN MATEMATIKA SMP 2016

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal, kita dapat mengetahui ukuran masing-masing sisi, seperti terlihat pada gambar berikut.
kesebangunan dan kekongruenan

 
Untuk menghitung EF, gunakan rumus di bawah.

    \[EF =\frac{CD \times FB + AB \times CF}{FB + CF} \]

Sehingga,

    \[EF =\frac{12 \times 3x + 27 \times 2x}{3x + 2x} \]

    \[EF =\frac{36x + 54x}{5x} \]

    \[EF =\frac{90x}{5x}\;=\;18\;cm \]

Jawaban: D

 

Contoh 3

“Lebar Sungai”
Andi ingin mengetahui lebar sungai. Di seberang sungai terdapat sebuah pohon. Untuk itu dia menancapkan tongkat sehingga berada pada posisi A, B, C, dan D dengan ukuran seperti pada gambar.
Kesebangunan dan Kekongruenan
Andi ingin mengukur lebar sungai dari tongkat D sampai pohon. Berapa lebar sungai tersebut?
A. 11 m
B. 12 m
C. 15 m
D. 16 m
SOAL UN MATEMATIKA SMP 2016

Pembahasan:
Perhatikan sketsa berikut!
kesebangunan segitiga
Lebar sungai dapat dihitung dengan memanfaatkan kesebangunan segitiga.
Lebar sungai = DP

    \[ \frac{DP}{AP} = \frac{DC}{AB} \]

    \[ \frac{DP}{4 + DP} = \frac{6}{8} \]

    \[ 8DP = 6 \times (4 + DP) \]

    \[ 8DP = 24  + 6DP) \]

    \[ 8DP - 6DP = 24 \]

    \[ 2DP = 24 \]

    \[ DP = \frac{24}{2} = 12 \; m \]

Jadi, lebar sungai = DP = 12 m.
Jawaban: B

 
Semangat Belajar! Salam Prestasi!!!