Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

By | August 1, 2017

Materi lingkaran dalam dalam dan luar segitiga cukup menantang untuk dipelajari. Rumus yang akan diberikan nantinya mungkin agak sedikit asing buat sobat idSCHOOL karena belum kalian jumpai di tingkat sekolah dasar. Mempelajari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga akan meningkatkan level kemampuan matematika sobat idSCHOOL. OK, ayo langsung saja kita masuk dalam pembahasan materi bagian pertama linkaran dalam dan lingkaran luar segitiga yaitu lingkaran dalam segitiga.
 
 

Lingkaran Dalam Segitiga

Kasus pada lingkaran dalam segitiga untuk tingkat sekolah menengah pertama, biasanya diperkenalkan rumus untuk mencari jari-jari lingkaran. Materi lingkaran dalam segitiga melibatkan dua bangun yaitu lingkaran dan segitiga. Materi pertama mengenai bangun lingkaran yang berada dalam segitiga. Perhatikan gambar berikut!
 
Lingkaran dalam dan luar segitiga
 

Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam

    \[ r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s} \]

dengan s = \frac{1}{2} \left(a + b + c \right)

 
 

Lingkaran Luar Segitiga

Pembahasan selanjutnya dari materi lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga adalah lingkaran luar segitiga. Seperti judulnya “lingkaran luar segitiga” artinya ada lingkaran diluar segitiga. Ketiga titik sudut pada segitiga tersebut terletak pada lingkaran. Secara lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah!
 
lingkaran dalam dan luar segitiga
 

Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

    \[ r = \frac{AB \times AC \times BC}{4 \times L_{\Delta ABC}}\]

atau

    \[ r = \frac{abc}{4 \times L_{\Delta ABC}}\]

 
 

Segitiga Beraturan dan Tidak Beraturan

Rumus segitiga yang beraturan (segitiga yang diketahui tinggi dan alas) dapat kita cari menggunakan rumus berikut.
 
segitiga
 

    \[L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi \]

 
Lalu, bagaimana untuk segitiga yang tidak diketahui alas dan tinggi nya? Segitiga yang tidak diketahui mana tinggi dan mana alas disebut segitiga tidak beraturan. Cara menghitung luas segitiga ABC yang tidak beraturan adalah dengan menggunakan rumus berikut.
 
segitiga tidak beraturan
 

    \[ L_{\Delta ABC} = \sqrt{s(s-a) (s-b) (s-c)}\]

dengan s = \frac{1}{2}K_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times (a + b + c)

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1
Perhatikan gambar di bawah!
 
soal lingkaran dalam segitiga
 
Jika panjang AC dan BC berturut-turut 8 cm dan 15 cm maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah ….
A.     5 cm
B.     3,5 cm
C.     3 cm
D.     2,5 cm
 
Pembahasan:
Gambar pada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus berikut.

    \[ r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s} \]

Dengan s = \frac{1}{2}K_{\Delta ABC}
Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu.

    \[AB^{2} = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} \]

    \[AB^{2} = \sqrt{8^{2} + 15^{2}} \]

    \[AB^{2} = \sqrt{64 + 225} \]

    \[AB^{2} = \sqrt{289} = 17 \; cm\]

 

    \[K_{\Delta ABC} = AB + AC + BC\]

    \[K_{\Delta ABC} = 17 + 8 + 15 \]

    \[K_{\Delta ABC} = 48 \; cm \]

 

    \[s = \frac{1}{2} \times K_{\Delta ABC} \]

    \[s = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \; cm \]

 

    \[L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

    \[L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 \]

    \[L_{\Delta ABC} = 60 \; cm^{2}\]

Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga pada soal di atas adalah

    \[r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s} \]

    \[r = \frac{60}{24} = 2,5 \; cm\]

 
Jawaban: B

 
Contoh 2
Perhatikan gambar berikut!
 
contoh soal lingkaran luar segitiga
 
Luas daerah yang diarsir (daerah dengan warna biru) adalah ….

    \[\textrm{A.}\; \; \; 101 \frac{51}{224} cm^{2}\]

    \[\textrm{B.}\; \; \; 100 \frac{51}{224} cm^{2}\]

    \[\textrm{C.}\; \; \; 101 \frac{51}{244} cm^{2}\]

    \[\textrm{D.}\; \; \; 100 \frac{51}{244} cm^{2}\]

 
Pembahasan:
Untuk mengetahui luas daerah yang diarsir, kita perlu mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Sebelumnya, kita juga perlu mencari Keliling segitiga ABC, nilai s, dan segitiga ABC terlebih dahulu.
 

    \[K_{\Delta ABC} = AB + BC + CA \]

    \[K_{\Delta ABC} = 21 + 10 + 17 \]

    \[K_{\Delta ABC} = 48 \; cm \]

 

    \[s = \frac{1}{2} \times K_{\Delta ABC} \]

    \[s = \frac{1}{2} \times 48 \]

    \[s = 24 \; cm \]

 
Bahas soal sgtg luar ligkaran
Karena segitiga di luar lingkaran merupakan segitiga tidak beraturan, maka luas diperoleh dengan cara berikut.

    \[ L_{\Delta ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

    \[ L_{\Delta ABC} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}\]

    \[ L_{\Delta ABC} = \sqrt{24(14)(7)(3)}\]

    \[ L_{\Delta ABC} = \sqrt{7.056}\]

    \[ L_{\Delta ABC} = 84 \; cm^{2}\]

 
Sehingga, nilai jari-jarinya adalah

    \[ r = \frac{10 \times 17 \times 21}{4 \times 84}\]

    \[ r = \frac{3570}{336} \; cm\]

    \[ r = 10 \frac{210}{336} \; cm\]

    \[ r = 10 \frac{5}{8} \; cm\]

 
Luas total lingkaran adalah

    \[L_{lingkaran} = \pi r^{2} \]

    \[L_{lingkaran} = \frac{22}{7} \times 10\frac{5}{8} \times 10\frac{5}{8} \]

    \[L_{lingkaran} = 100 \frac{550}{448}  \]

    \[L_{lingkaran} = 101 \frac{51}{224} cm^{2} \]

Jawaban: A
 
Sekian pembahasan mengenai lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga.Terimakasih sudah berkunjung ke idschool.net, semoga bermanfaat!