Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng

By | July 30, 2017

Pada pembahasan unsur-unsur lingkaran, sobat idSCHOOL sudah mempelajari mengenai unsur lingkaran yang disebut busur, juring, dan tembereng. Pada pembahasan ini, sobat idschool akan mempelajari lebih lanjut tentang ketiga unsur lingkaran tersebut yaitu panjang busur, luas juring, dan luas tembereng. Pada bagian akhir diberikan contoh soal panjang busur, cara mencari luas juring dan luas tembereng.

Panjang busur, luas juring, dan luas tembereng menjadi bagian dari lingkaran yang dapat diketahui nilainya melalui perhitungan. Panjang Busur berhubungan dengan keliling lingkaran. Luas Juring berkaitan dengan luas lingkaran. Sedagkan luas tembereng melibatkan perhitungan luas lingkaran dan luas segitiga.

OK sobat idSCHOOL, mari simak lebih lanjut materinya di bawah ini!

Panjang Busur

Panjang busur merupakan bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik. Kedua titik tersebut dan pusat lingkaran membentuk sebuah sudut. Bagian busur yang akan dimaksud dapat dilihat dari gambar berikut.
 
Panjang Busur
 
Rumus Mencari Panjang Busur AB
 
panjang busur, luas juring, dan luas tembereng

    \[ \widehat{AB} = \frac{\angle AOB}{360^{o}} \times K_{lingkaran}\]

 
Hubungan antara dua sudut dan panjang busur dalam satu lingkaran:
hubungan panjang dua busur

    \[ \frac{\widehat{AB}}{\widehat{CD}}= \frac{\angle AOB}{\angle COD} \]

 
Contoh Soal dan Pembahasan
Perhatikan gambar di bawah!
contoh soal panjang busur
Jika panjang busur AB adalah 32 cm maka panjang busur CD adalah ….

    \[\textrm{A.     }21\frac{1}{3} \; \textrm{cm} \]

    \[\textrm{B.     }21\frac{2}{3} \; \textrm{cm} \]

    \[\textrm{C.     }22\frac{1}{3} \; \textrm{cm} \]

    \[\textrm{D.     }22\frac{2}{3} \; \textrm{cm} \]

 
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal, dapat diketahui bahwa:

    \[ \angle AOB = 90^{o} (siku-siku) \]

    \[ \angle COD = 60^{o} (siku-siku) \]

    \[ \widehat AB = 32 \textrm{ cm} \]

Panjang busur CD adalah

    \[ \frac{\widehat{AB}}{\widehat{CD}}= \frac{\angle AOB}{\angle COD} \]

    \[ \frac{32}{\widehat{CD}}= \frac{90^{o}}{60^{o}} \]

    \[ \frac{32}{\widehat{CD}}= \frac{3}{2} \]

kalikan silang, sehingga diperoleh

    \[ 3 CD = 32 \times 2 \]

    \[ 3 CD = 64 \]

    \[ CD = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \; cm \]

Jawaban: A
 
 

Luas Juring

Materi selanjutnya dalam pembahasan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng adalah luas juring. Juring merupakan daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur. Daerah yang dibatasi tersebut merupakan bagian dari luas lingkaran. Untuk mengetahui daerah yang disebut juring dapat dilihat pada gambar berikut!

 
luas juring

 
Rumus Mencari Luas Juring AOB
 
luas juring

    \[ L_{juring \; AOB} = \frac{\angle AOB}{360^{o}} \times L_{lingkaran}\]

 
Hubungan antara dua sudut dan panjang busur dalam satu lingkaran:
 

    \[ \frac{L_{JuringA\;OB}}{L_{Juring\;COD}}= \frac{\angle AOB}{\angle COD} \]

 
Contoh Soal dan Pembahasan
Perhatikan gambar berikut!
contoh luas dua juring
Lingkaran di atas memiliki ukuran jari-jari sebesar10,5 cm. Luas juring COD adalah ….
A.     28,875 cm^{2}
B.     288,75 cm^{2}
C.     2.887,5 cm^{2}
D     28.875 cm^{2}
 
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada gambar, kita dapat mengetahui bahwa besar sudut AOB adalah 90^{o}. Luas juring AOB adalah

    \[L_{juring\;AOB} = \frac{\angle AOB}{360^{o} \times L_{lingkaran}} \]

    \[L_{juring\;AOB} = \frac{90^{o}}{360^{o}} \times \pi r^{2} \]

    \[L_{juring\;AOB} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{22}{7} \times 10,5 \times 10,5 \right) \]

    \[L_{juring\;AOB} = \frac{1}{4} \times \left( 22 \times 1,5 \times 10,5 \right) \]

    \[L_{juring\;AOB} = \frac{1}{4} \times 346,5 = 86,625 \; cm^{2} \]

Selanjutnya, kita akan mencari luas juring COD:

    \[ \frac{90^{o}}{30^{o}} = \frac{86,625}{L_{juring\;COD}}\]

    \[ \frac{3}{1} = \frac{86,625}{L_{juring\;COD}}\]

    \[ 3L_{juring\;COD} = 86,625  \]

    \[ L_{juring\;COD} = \frac{86,625}{3}  = 28,875 \; cm^{2} \]

Jawaban: A

 
 

Luas Tembereng

Tembereng merupakan daerah yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur. Luas tembereng diperoleh dengan cara mengurangkan luas juring dengan luas segitiga. Bagian yang merupakan juring dapat dilihat pada gambar berikut.

 
luas tembereng

 
Cara mencari luas tembereng

    \[L_{tembereng}=L_{juring\;AOB}-L_{segitiga\;AOB}\]

 
Contoh Soal dan Pembahasan
Perhatikan gambar berikut!
contoh soal luas tembereng
Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah …. (\pi = 3,14)
A.     78,5 cm^{2}
B.     50 cm^{2}
C.     38 cm^{2}
D     28,5 cm^{2}
 
Pembahasan:
Daerah yang diarsir merupakan tembereng. Luas tembereng dapat dihitung dengan mengurangkan luas juring PQR dengan luas segitia PQR. Sehingga kita perlu menghitung luas juring PQR dengan luas segitia PQR terlebih dahulu. Kemudian kita bisa mendapatakan luas tembereng.
 
Luas Juring PQR
 
luas juring

Berdasarkan pada gambar di atas dapat diperoleh data \angle PQR = 90^{o} (siku-siku) dan r = 10 \; cm. Sehingga luas juring PQR adalah

    \[ L_{juring \; PQR} =  \frac{90^{o}}{360^{o}} \times L_{lingkaran}\]

    \[ L_{juring \; PQR} =  \frac{90^{o}}{360^{o}} \times \pi r^{2}\]

    \[ L_{juring \; PQR} =  \frac{1}{4} \times (3,14)(10)^{2} \]

    \[ L_{juring \; PQR} =  \frac{1}{4} \times 314 = 78,5 \; cm^{2} \]

 
Luas segitiga PQR
 
luas segitiga
Segitiga PQR merupakan segitiga segitiga sama sisi dan siku-siku di P. PQ = PR = jari-jari =10 cm. Sehingga, luas segitiga PQR adalah

    \[ L_{segitiga\;PQR}=\frac{1}{2} \times 10 \times 10 \]

    \[ L_{segitiga\;PQR}=\frac{1}{2} \times 100 = 50 \; cm^{2} \]

 
Luas tembereng
 
contoh soal luas tembereng
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah

    \[ L_{arsir}= L_{tembereng} \]

    \[ L_{arsir}= L_{juring \; PQR} - L_{segitiga \; PQR} \]

    \[ L_{arsir}= 78,5 - 50 = 28,5 \; cm^{2} \]

Jawaban: D

Sekian pembahasan mengenai panjang busur, luas juring, dan luas tembereng yang dilengkapi dengan contoh soal panjang busur, luas juring, dan luas lingkaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Segi Empat Tali Busur dan Sdutu Antara Dua Tali Busur