Pemfaktoran Bentuk Aljabar

By | July 16, 2017

Sebelumnya kita telah membahas mengenai operasi hitung bentuk Aljabar. Selanjutnya, kali ini idSCHOOL akan membahas materi mengenai Pemfaktoran bentuk Aljabar. Materi ini seringkeluar dalam kisi-kisi Ujian Nasional dari tahun ke tahun. Jadi, simak dengan baik-baik ya!
 
Pemfaktoran bentuk Aljabar dapat dikelompokokan menjadi beberapa bentuk seperti yang akan idSCHOOL bahas berikut ini.

 
Bentuk Distributif

    \[px + py = p(x + y)\]

    \[px - py = p(x - y)\]

Contoh:

    \[3x + 3y = 3(x + y)\]

    \[5x - 5y = 5(x - y)\]

 
 
Bentuk Selisih Kuadrat

    \[a^{2} - b^{2} = (a + b)(a -b) \]

Contoh:
Tentukan faktor dari 9x^{2} - 16^{2}!
Berdasarkan 9x^{2} - 16^{2} kita dapat secara cepat menentukan bahwa nilai a = 3x dan b = 4.

    \[9x^{2} - 16^{2} = (3x + 4)(3x - 4) \]

 
 
Bentuk Kuadrat Sempurna

    \[x^{2} + 2xy +y^{2} = (x + y)^{2} \]

    \[x^{2} - 2xy +y^{2} = (x - y)^{2} \]

 
 
Bentuk x^{2} + bx + c = 0

    \[x^{2} + bx +c = (x + p)(x+q) \]

dengan

    \[p + q = b \textrm{ dan } pq = c\]

Contoh:
Faktorkan bentuk x^{2} - 7x + 12 = 0!
Berdasarkan persamaan kuadrat x^{2} - 7x + 12 = 0 dapat diketahui bahwa nilai a = a, b = -7, dan c = 12. Cara pemfaktorannya adalah sebagai berikut.
Cari bilangan p dan q yang memenuhi

    \[pq = c = 12\]

dan

    \[p + q = b = -7\]

Untuk memudahkannya dalam mencari p dan q, perhatikan pada gambar berikut!
Contoh Pemfaktoran Bentuk Aljabar
 
Sehingga diperoleh nilai p dan q yang memenuhi adalah p = -4 dan q= -3 (nilai p dan q tertukar tidak akan menjadi masalah). Jadi, hasil pemfaktoran yang benar adalah

    \[ x^{2} - 7x + 12 = 0 \rightarrow (x-4)(x-3) = 0\]

 
 
Bentuk ax^{2} + bx + c = 0 dengan a \neq 1

    \[ax^{2} + bx +c = a\left( x +\frac{p}{a}\right)\left(x+\frac{q}{a}\right) \]

dengan

    \[p + q = b \textrm{ dan } pq = ac\]

Contoh: Faktorkan persamaan kuadrat 2x^{2} - 11x + 15!
 
Cara pemfaktorannya adalah sebagai berikut.

  1. Berdasarkan persamaan kuadrat 2x^{2} - 11x + 15 dapat diketahui bahwa nilai a = 2, b = -11, dan c = 15
  2. Cari bilangan p dan q yang memenuhi

        \[pq = a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30\]

    dan

        \[p + q = b = -11\]

    Perhatikan tabel di bawah untuk memudahkannya perhatikan cara mencari nilai p dan q.
    Contoh Pemfaktoran Bentuk Aljabar

     
    Sehingga diperoleh nilai p dan q yang memenuhi adalah p = 3 dan q=-2 (nilai p dan q tertukar tidak akan menjadi masalah), maka

        \[2x^{2} + x - 3 = 2\left( x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{-2}{2}\right) \]

        \[2x^{2} + x - 3 = \left( 2x+\frac{3 \cdot 2}{2}\right)\left(x+\frac{-2}{2}\right) \]

        \[2x^{2} + x - 3 = \left( 2x+3 \right)\left(x - 1 \right) \]

    Jadi 2x^{2} + x - 3 = (2x-3)(x+1) merupakan pernyataan salah, yang benar adalah 2x^{2} + x - 3 = (2x+3)(x-1).

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Perhatikan pernyataan berikut!

    \[ \textrm{I.    } 4x^{2} - 9 =(2x+3)(2x-3) \]

    \[ \textrm{II.   } 2x^{2} + x - 3 = (2x-3)(x+1) \]

    \[ \textrm{IIII. } x^{2} + x - 6 = (x+3)(x-2) \]

    \[ \textrm{IV.   } x^{2} + 4x - 5 =(x-5)(x+1) \]

Pernyataan yang benar adalah ….
A. I dan II
B. II dan III
C. I dan III
D. II dan IV
 
SOAL UN MATEMATIKA SMP 2016

Pembahasan:
Selidiki pernyataan I
Bentuk 4x^{2} - 9 =(2x+3)(2x-3) merupakan bentuk selisih kuadrat a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) dengan a = 2x dan b=3
sehingga,

    \[ \textrm{I.    } 4x^{2} - 9 =(2x+3)(2x-3) \]

Pernyataan I Benar

 
Selidiki pernyataan II
Bentuk 2x^{2} + x - 3 merupakan bentuk ax^{2} + bx + c = 0 dengan a \neq 1. Cara pemfaktorannya adalah sebagai berikut.

  1. Berdasarkan persamaan kuadrat 2x^{2} + x - 3 dapat diketahui bahwa nilai a = 2, b = 1, dan c = -3
  2. Cari bilangan p dan q yang memenuhi

        \[pq = a \cdot c = 2 \cdot = -3 = -6 \]

    dan

        \[p + q = b = 1\]

    untuk memudahkannya perhatikan cara mencari nilai p dan q berikut!
    Pemfaktoran Bentuk Aljabar
     
    Sehingga diperoleh nilai p dan q yang memenuhi adalah p = 3 dan q=-2 (nilai p dan q tertukar tidak akan menjadi masalah), maka

        \[2x^{2} + x - 3 = 2\left( x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{-2}{2}\right) \]

        \[2x^{2} + x - 3 = \left( 2x+\frac{3 \cdot 2}{2}\right)\left(x+\frac{-2}{2}\right) \]

        \[2x^{2} + x - 3 = \left( 2x+3 \right)\left(x - 1 \right) \]

    Jadi 2x^{2} + x - 3 = (2x-3)(x+1) merupakan pernyataan salah, yang benar adalah 2x^{2} + x - 3 = (2x+3)(x-1).

 
Selidiki pernyataan III
Bentuk x^{2} + x - 6 merupakan bentuk x^{2} + bx + c = 0.
Berdasarkan persamaan kuadrat x^{2} + x - 6 dapat diketahui bahwa nilai a = a, b = 1 dan c = -6.

Cara pemfaktorannya adalah sebagai berikut.
Cari bilangan p dan q yang memenuhi

    \[pq = c = -6\]

dan

    \[p + q = b = 1\]

Untuk memudahkan mencari nilai p dan q, perhatikan gambar berikut!
Pemfaktoran Bentuk Aljabar
Sehingga diperoleh nilai p dan q yang memenuhi adalah p = 3 dan q=-2. Jadi, hasil pemfaktoran yang benar adalah x^{2} + x - 6 = (x+3)(x-2).

 
Selidiki pernyataan IV
Bentuk x^{2} + 4x - 5 merupakan bentuk x^{2} + bx + c = 0.
Berdasarkan persamaan kuadrat x^{2} + 4x - 5 dapat diketahui bahwa nilai a = a, b = 4 dan c = -5.

Cara pemfaktorannya adalah sebagai berikut.
Cari bilangan p dan q yang memenuhi

    \[pq = c = -5\]

dan

    \[p + q = b = 4\]

Perhatikan gambar di bawah untuk memudahkan mencari nilai p dan q!
Pemfaktoran Bentuk Aljabar 1

Sehingga diperoleh nilai p dan q yang memenuhi adalah p = 5 dan q = -1. Jadi, hasil pemfaktoran yang benar adalah x^{2} + 4x - 5 = (x+5)(x-1) bukan x^{2} + 4x - 5 =(x-5)(x+1).

Jadi, pernyatan yang benar adalah pernyataan I dan III.
Jawaban: C
 
Mudah Bukan? Jangan menyerah untuk mencoba lagi, lagi, dan lagi agar tidak mengalami kesulitan mengenai cara memfaktorkan bentuk Aljabar. Nantinya, materi ini akan mempermudah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat. Semangat Belajar! Salam Prestasi!!!