Segi Empat Tali Busur dan Sudut Antara Dua Tali Busur

By | August 1, 2017

Pembahasan mengenai segi empat tali busur, termasuk pembahasan rumus segi empat tali busur, dan sudut antara dua tali busur merupakan bagian dari materi lingkaran. Unsur lingkaran terdiri atas panjang busur, tali busur, luas juring, luas tembereng, sudut pusat, dan sudut keliling. Seperti yang kita ketahui bahwa tali busur adalah garis yang menghubungkan dua titik yang berada di busur lingkaran. Jika ada dua tali busur yang saling berpotongan maka akakn terbentuk sudut, besarnya sudut ini dapat kita cari menggunkan rumus segi empat tali busur yang akan kita bahas di sini.

Uraian materi yang akan dibahas melalui halaman ini meliputi karakteristik segi empat tali busur, rumus segi empat tali busur, dan sudut antara dua tali busur. Sudut antara dua tali busur dibedakan menjadi dua, yaitu sudut antara dua tali busur yang memotong di dalam lingkaran dan sudut antara dua tali busur yang memotong di luar lingkaran. Nantinya, sobat idschool akan mengululas rumus segi empat tali busur untuk menentukan besar sudut antara dua tali busur, baik yang berpotongan di dalam lingkaran atau di luar lingkaran.

Rumus segi empat tali busur yang akan dibahas meliputi rumus sudut yang menunjukkan hubungan dua sudut yang dibentuk antara dua tali segi empat dan rumus yang menujukkan hubungan antar diagonal segi empat yang dibentuk oleh segi empat tali busur.

Langsung saja masuk dalam ulasan pertama yang akan kita bahas yaitu rumus yang menyatakan hubungan antar diagonal segi empat tali busur.

 

Hubungan Diagonal Segi Empat Tali Busur

Segi empat tali busur mempunyai empat sisi, di mana keempat titik sudutnya terletak di busur lingnkaran. Jika titik sudut segi empat tali busur yang saling berhadapan dihubungkan maka akan diperoleh dua tali busur. Kedua diagonal yang terbentuk ini mempunyai hubungan yang dapat dinyatakan dalam rumus segi empat tali busur. Hubungan diagona segi empat tali busur tersebut di bedakan menjadi dua yaitu hasil kali diagonal sama dengan jumlah sisi-sisi yang berhadapan dan hasil kali bagian-bagian diagonalnya adalah sama.

Selanjutnya, simak uraian yang akan diulas di bawah.

Hasil kali diagonal = jumlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan
 
rumus segiempat tali busur
 

    \[ AC \times BD = AD \times BC + AB \times DC\]

 
Hasil kali bagian-bagian diagonalnya adalah sama
 
rumus segi empat tali busur
 

    \[ AC \times BD = AD \times BC + AB \times DC\]

 

Hubungan Sudut dalam Segi Empat Tali Busur

Segi empat tali busur adalah segi empat yang dibatasi oleh empat tali busur dengan keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Pada segi empat tali busur, jumlah dua sudut saling berhadapan adalah 180^{o}. Hubungan antar sudut yang terbentuk antar diagonal dua tali busur dinyatakan dalam persamaan yang di bahas di bawah. Sebelumnya, perhatikan gambar lingkaran da segi empat tali busur di bawah!

rumus segiempat tali busur

Rumus yang menyatakan hubungan sudut yang dibentuk segi empat tali busur dinyatakan dalam rumus di bawah.

    \[ \angle DAB + \angle DCB = 180^{o} \]

    \[ \angle ABC + \angle ADC = 180^{o} \]

Materi berikutnya adalah sudut antara dua tali busur.

 

Sudut Antara Dua Tali Busur

Seperti yang telah disinggung sedikit di awal, sudut antara dua tali busur dibedakan menjadi dua yaitu sudut dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran dan sudut dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran. Pada pembahasan di bawah akan diulas rumus yang dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua tali busur. Pembahasan juga meliputi pembuktian rumus untuk memperoleh sudut antara dua tali busur Simak pembahasan selengkapnya di bawah.

Tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran

Pembahasan materi selanjutnya dalam segiempat tali busur dan sudut antara dua tali busur adalah sudut yang dibentuk antara dua tali busur. Pertama, kita pelajari dulu sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran. Perhatikan gambar berikut!

 
sudut antara dua tali busur

 

    \[ \angle BEC =\frac{1}{2} \left( \angle BOC + \angle AOD  \right) \]

    \[ \angle AED =\frac{1}{2} \left( \angle BOC + \angle AOD   \right) \]

    \[ \angle CED =\frac{1}{2} \left( \angle AOB + \angle COD \right) \]

    \[ \angle AEB = \frac{1}{2} \left( \angle AOB + \angle COD \right) \]

 
Pembuktian:
Asal-usul rumus di atas dapat dilihat pada pembahasan berikut. Buatlah garis bantu CD sehingga terbentuk segitiga ACD.

pembuktian rumus sudut antara dua tali busur

 
Persamaan 1:

    \[ \angle EDC = \angle BDC = \frac{1}{2} \angle BOC \]

 
Persamaan 2:

    \[ \angle ECD = \angle ACD = \frac{1}{2} \angle AOD \]

 
Persamaan 3:
Selanjutnya perhatikan \Delta CED,

    \[ \angle CED + \angle EDC + \angle ECD = 180^{o}\]

    \[ \angle CED  = 180^{o} - \angle EDC - \angle ECD \]

 
Selanjutnya perhatikan garis BD (merupakan garis lurus)!

    \[ \angle BEC + \angle CED = 180^{o} \]

    \[ \angle BEC = 180^{o}  - \angle CED \]

Subtitusi hasil dari persamaan 3 untuk mengganti nilai \angle CED pada persamaan di atas.

    \[ \angle BEC = 180^{o}  - \left( 180^{o} - \angle EDC - \angle ECD \right) \]

    \[ \angle BEC = 180^{o}  -  180^{o} + \angle EDC + \angle ECD \]

    \[ \angle BEC =  \angle EDC + \angle ECD \]

Subtitusi hasil persamaan 1 dan persamaan 2 untuk mengganti \angle EDC dan \angle ECD pada persamaan di atas sehingga diperoleh hasil seperti berikut.

    \[ \angle BEC = \frac{1}{2} \angle BOC + \frac{1}{2} \angle AOD \]

    \[ \angle BEC = \frac{1}{2} \left( \angle BOC + \angle AOD \right) \]

 

Hasil akhir diperoleh pembuktian yang benar untuk satu rumus dalam sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran. Untuk pembuktian ketiga rumus lainnya dapat dijadikan sebagai latihan sendiri. Tentunya, caranya sama dengan langkah-langkah yang telah diberikan di atas.

 
Sudut Tali Busur yang Berpotongan di Luar Lingkaran

Selanjutnya adalah dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran. Titik potong dari dua tali busur tersebut merupakan titik potong dari perpanjangan dari dua tali busur lingkaran. Pada gambar di bawah, titik E merupakan titik perpotongan antara busur CB dan DA. Sudut DEC merupakan sudut yang dibentuk dari perpotongan dua tali busur di luar lingkaran.

sudut antara dua tali busur

 

    \[ \angle CED = \frac{1}{2} \left( \angle COD - \angle AOB \right) \]

 

Pastinya, rumus di atas tidak dapat diperoleh secara ajaib. Ada cara atau langkah-langkah yang dilakukan sehingga bisa diperoleh rumus tersebut. Simaklah langkah-langkah berikut untuk mengetahhui asal-usul rumus di atas. Perhatikan gambar berikut!

Buatlah garis bantu DB

bukti rumus sudut antara dua tali busur berpotongan di luar lingkaran

 
Persamaan 1:
\angle BDA adalah sudut keliling yang menghadap busur BA dan \angle AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur BA, maka berlaku:

    \[ \angle BDA = \frac{1}{2} \angle AOB \]

 
Persamaan 2:
\angle DBC adalah sudut keliling yang menghadap busur DC dan \angle DOC merupakan sudut pusat yang menghadap busur DC, maka berlaku:

    \[ \angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC \]

 
Persamaan 3:
CE merupakan garis lurus (besar sudutnya adalah 180^{o}), sehingga

    \[ \angle DBC + \angle  EBD = 180^{o}\]

    \[ \angle  EBD = 180^{o} - \angle DBC \]

Subtitusi persamaan 2 ke persamaan di atas untuk menggantikan nilail \angle DBC

    \[ \angle  EBD = 180^{o} - \frac{1}{2} \angle DOC \]

 
Selanjutnya perhatikan \Delta EDB!
 
buskti sudut perpotongan antara dua tali busur di luar lingkaran

 

    \[ \angle BED + \angle BDA + \angle EBD = 180^{o} \]

    \[ \angle BED = 180^{o} - \angle BDA - \angle EBD \]

Substitusi persamaan 1 dan persamaan 3 pada persamaan di atas sehingga diperoleh hasil berikut.

    \[ \angle BED = 180^{o} - \frac{1}{2} \angle AOB - \left( 180^{o} - \frac{1}{2} \angle DOC \right) \]

    \[ \angle BED = 180^{o} - \frac{1}{2} \angle AOB - 180^{o} + \frac{1}{2} \angle DOC \]

    \[ \angle BED = 180^{o} - 180^{o} - \frac{1}{2} \angle AOB  + \frac{1}{2} \angle DOC \]

    \[ \angle BED =  \frac{1}{2} \angle DOC - \frac{1}{2} \angle AOB \]

    \[ \angle BED =  \frac{1}{2} \left( \angle DOC - \angle AOB \right) \]

Terbukti untuk rumus sudut yang terbentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran. Pembuktian rumus segiempat tali busur sekaligus menjadi ulasan terakhir materi rumus segi empat tali busur dan sudut antara dua tali busur. Selanjutnya akan diberikan dua contoh soal segi empat tali busur.

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1
Pada gambar di bawah diketahui \angle BOD = 50^{o} dan \angle AOC = 110^{o}.
 
contoh soal sudut perpotongan dua tali busur di dalam lingkaran
 
Besar \angle AEC adalah ….

    \[ \textrm{A.}\; \; \; 60^{o} \]

    \[ \textrm{B.}\; \; \; 75^{o} \]

    \[ \textrm{C.}\; \; \; 80^{o} \]

    \[ \textrm{D.}\; \; \; 120^{o} \]

 
Pembahasan:
Lihat kembali rumus pada sudut yang dibentuk antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.
 
sudut dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran
 

    \[ \angle AEC = \frac{1}{2} \left( \angle AOC + \angle DOB \right) \]

    \[ \angle AEB = \frac{1}{2} \left( 110^{o} + 50^{o} \right) \]

    \[ \angle AEB = \frac{1}{2} \times 160^{o} = 80^{o} \]

Jadi, besar \angle AEB = 80^{o}.
Jawaban: C

 
Contoh 2
Perhatikan gambar di bawah!
 
contoh soal segi empat tali busur
 
Diketahui segi empat tali busur ABCD dengan AE = 3 cm, AC = 15 cm, dan BE = 9 cm. Panjang BD adalah ….
A.     15 cm
B.     14 cm
C.     13 cm
D.     12 cm
 
Pembahasan:
Panjang AC = 15
sehingga CE = AC - AE = 15 - 3 = 12 \; cm
Selanjutnya, berdasarkan karakteristik pada segiempat tali busur dpat digunakan untuk mendapatkan panjang DE.

    \[ BE \times DE = AE \times CE \]

    \[ 9 \times DE = 3 \times 12 \]

    \[ 9 \times DE = 36 \]

    \[ DE = \frac{36}{9} = 4\; cm \]

Sehingga, panjang BD = BE + DE = 9 + 4 = 13 cm
Jawaban: C

 

Ok, demikian ulasan materi rumus segi empat tali busur dan sudut antara dua tali busur. Tereimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Unsur-unsur, Keliling, dan Luas Lingkaran