Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

By | July 28, 2017

Sistem persamaan adalah himpunan persamaan yang saling berhubungan. Variabel merupakan nilai yang dapat berubah-ubah. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertingginya adalah 1 (satu). Sistem persamaan linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan suatu sistem yang terdiri atas dua persamaan linier yang mempunyai dua variabel. Dalam sebuah Sistem Persamaan Linear Dua Variable (SPLDV) biasanya melibatkan dua persamaan dengan dua variabel.
Contoh bukan SPLDV:

    \[2x^{2} + 5x = 14\]

    \[\frac{1}{x}  + \frac{1}{y} =2\]

Contoh SPLDV:

    \[2x + 5y = 14\]

    \[3a + 4b =24\]

    \[q + r = 3\]

 
Persamaan LInear
 

Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV):

    \[ax + by = c \]

    \[dx + ey = f \]

 
Metode-metode untuk Menyelesaikan SPLDV
Terdapat beberapa cara/metode untuk menyelesaikan permasalahan terkait Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Metode-metode tersebut diantaranya adalah metode substitusi, eliminasi, gabungan, dan grafik. Hasil penyelesaian PLDV dinyatakank dalam pasangan terurut (x, y). Untuk mengetahui perbedaan setiap metode, akan disajikan dalam pengerjaan sebuah soal dengan keempat metode tersebut.

Permasalahan dalam SPLDV:
      Persamaan pertama: 2x + 3y = 8
      Persamaan Kedua: 3x + y = 5
      Tentukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas!

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel di atas akan diselesaikan dengan keempat metode.

 
Cara I: Metode Substitusi

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi:

        1. Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d
        TRIK!! Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah
        2. Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya.
        3. Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y.
        4. Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari varabel yang belum diketahui.
        5. Penyelesaiannya adalah (x, y).

Permasalahan dalam SPLDV:
      Persamaan pertama: 2x + 3y = 8
      Persamaan Kedua: 3x + y = 5
 
Penyelesaian permasalahan dengan metode substitusi:
Langkah 1

    \[ 3x + y = 5 \rightarrow y = 5 - 3x \]

Langkah 2: substitusi y=5-3x pada persamaan 2x + 3y = 8

    \[ 2x + 3(5 - 3x) = 8 \]

Langkah 3: selesaikan persamaan sehingga diperoleh nilai x

    \[ 2x + 3(5 - 3x) = 8 \]

    \[ 2x + 15 - 9x = 8 \]

    \[ 2x - 9x = 8 - 15 \]

    \[ - 7x =  - 7  \rightarrow 1 \]

Langkah 4: substitusi nilai x=1 pada persamaan 2x + 3y = 8 (pilih salah satu, bebas, hasilnya akan sama).

    \[ 2x + 3y = 8\]

    \[ 2(1) + 3y = 8\]

    \[ 2 + 3y = 8\]

    \[ 3y = 8  - 2\]

    \[ 3y = 6 \]

    \[ y = \frac{6}{3} = 2 \]

Langkah 5: penyelesaiannya adalah (x, y)
Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2
Penyelesaiannya adalah (1, 2)

 
Cara II: Metode Eliminasi

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:
        1. Menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
        2. Hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
        3. Ulangi kedua langkah untuk mendapatkan varibel yang belum diketahui.
        4. Penyelesaiannya adalah (x, y).

Permasalahan dalam SPLDV:
      Persamaan pertama: 2x + 3y = 8
      Persamaan Kedua: 3x + y = 5

Penyelesaian permasalahan dengan metode eliminasi:
Langkah 1:
Metode Eliminasi

Langkah 2:
Metode Eliminasi SPLDV

Langkah 3:
Metode Eliminasi SPLDV

Langkah 4:
Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2
Penyelesaiannya adalah (1, 2)

 
Metode Gabungan (Eliminasi – Substitusi)
Metode gabungan merupakan penggabungan langkah dari metode sustitusi dan eliminasi. Metode eliminasi mempunyai langkah awal yang cukup mudah dan singkat. Sedangkan metode susbtitusi mempunyai cara akhir yang baik. Kedua metode tersebut digabungkan untuk mempermudah pengerjaan. Metode gabungan merupakan metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan SPLDV.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:
        1. Cari nilai salah satu variabel x atau y dengan metode eliminasi.
        2. Gunakan metode substitusi untuk mendapatkan nilai variabel kedua yang belum diketahui.
        3. Penyelesaiannya adalah (x, y).

Permasalahan dalam SPLDV:
      Persamaan pertama: 2x + 3y = 8
      Persamaan Kedua: 3x + y = 5

Penyelesaian permasalahan SPLDV dengan metode gabungan (eliminasi – substitusi):
Langkah 1: mencari nilai x dengan metode eliminasi
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV))

Langkah 2: substitusi nilai x=1 pada persamaan 2x + 3y = 8 (pilih salah satu, bebas, hasilnya akan sama).

    \[ 2x + 3y = 8\]

    \[ 2(1) + 3y = 8\]

    \[ 2 + 3y = 8\]

    \[ 3y = 8  - 2\]

    \[ 3y = 6 \]

    \[ y = \frac{6}{3} = 2 \]

Langkah 3: penyelesaiannya adalah (x, y)
Hasil yang diperoleh x = 1 dan y = 2
Penyelesaiannya adalah (1, 2)

 
Cara III: Metode Grafik
Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik dilakukan dengan menentukan koordinat titik potong dari kedua garis yang mewakili kedua persamaan linear. Sebelumnya, sobat idSCHOOL perlu belajar mengenai cara menggambar garis pada persamaa linear terlebih dahulu.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:
        1. Menggbar garis yang mewakili kedua persamaan dalam bidang kartesius.
        2. Menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut.
        3. Penyelesaiannya adalah (x, y).

Permasalahan dalam SPLDV:
      Persamaan pertama: 2x + 3y = 8
      Persamaan Kedua: 3x + y = 5

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik.
Langkah 1: menggambar kedua grafik
Menentukan titik potong pada kedua sumbu x dan y dari kedua persamaan.
spldv

Reperesentasi kedua persamaan dalam bidang kartesius.

Langkah 2: menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut.
spldv metode grafik
Langkah 3: peyelesaiannya adalah (x, y)
Berdasarkan gambar dapat diketahui bahwa titik potong berada pada x = 1 dan y = 2
Penyelesaiannya adalah (1, 2)
 
 
Contoh Soal dan Pembahasan
 
Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah ….
A. Rp135.000,00
B. Rp115.000,00
C. Rp110.000,00
D. Rp100.000,00
 
SOAL UN Matematika SMP 2016

Pembahasan:
Misalkan:
        Tarif parkir per mobil = x
        Tarif parkir per motor = y

Berdasarkan cerita pada soal, dapat diperoleh model matematika seperti di bawah.

    \[ 3x + 5y = 17.000 \]

    \[ 4x + 2y = 18.000 \]

Kalikan persamaan pertama dengan 4 (empat) dan persamaan kedua dengan 3 (tiga). Hal ini digunakan untuk membuat salah satu variabelnya sama, sehingga bisa saling mengurangi.
spldv metode eliminasi

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh nilai y = 1.000
Subtitusi nilai y = 1.000 pada salah satu persamaan yang diketahui, misalnya 3x + 5y =17.000 (pemilihan persamaan yang berbeda akan tetap menghasilkan hasil akhir sama).

    \[ 3x + 5y = 17.000 \]

    \[ 3x + 5(1.000) = 17.000 \]

    \[ 3x + 5.000 = 17.000 \]

    \[ 3x  = 17.000 - 5.000 \]

    \[ 3x  = 12.000 \]

    \[ x  = \frac{12.000}{3} = 4.000\]

Hasil yang diperoleh adalah
Uang parkir mobil = x = Rp.4.000,00
Uang parkir motor = y = Rp.1.000,00

Jadi, uang yang diperoleh untuk 20 mobil dan 30 motor adalah

    \[ 20 \times Rp4.000,00 + 30 \times Rp1.000,00 \]

    \[= Rp80.000,00 + Rp30.000,00 \]

    \[ = Rp110.000,00 \]

Jawaban: C

Semangat Belajar! Salam Prestasi!!!