Sudut Pusat dan Sudut Keliling

By | August 1, 2017

Pembahasan sudut pusat dan sudut keliling masih terkait dengan materi lingkaran. Jika sebelumnya telah dibahas unsur lingkaran, panjang busur, luas juring, luas tembereng, dan garis singgung singgung lingkaran. Sekarang, ulasan materi yang akan dibahas melalui halaman ini adalah sudut pusat, sudut keliling, dan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling.

Langsung saja, mari simak materi sudut pusat dan sudut keliling yang akan diuraikan dalam dua pembahasan yang berbeda. Pada bagian akhir nantinya juga akan diberikan contoh soal sudut pusat dan sudut keliling. Jadi, simak pembahasan materinya sampai akhir.

Masuk materi yang pertama yaitu sudut pusat, simak ulasan di bawah.

 

Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan dua titik yang terletak pada busur lingkaran. Gambar di bawah akan menunjukkan letak sudut pusat secara lebih jelas.

 
Sudut Pusat dan Sudut Keliling
 
Keterangan:
        \angle AOB merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB.
        \angle COD merupakan sudut pusat yang menghadap busur CD.

 
 

Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh tiga titik yang terletak pada busur lingkaran. Perhatikan gambar berikut untuk mengetahui letak sudut keliling dalam sebuah ligkaran.

 
sudut pusat dan sudut keliling
 
Keterangan:
        \angle BCA merupakan sudut pusat yang menghadap busur AB.
        \angle XZY merupakan sudut pusat yang menghadap busur XY.

 
 

Hubungan Besar Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Besar sudut pusat dan sudut keliling yag menghadap busur yang sama memiliki hubungan. Jadi, jika suatu besar sudut pusat diketahui, maka sudut keliling yang menghadap busur yang sama juga dapat diketahui. Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliing dapat dinyatakan dalam uraian di bawah.

Perhatikan gambar di bawah!

 
sudut pusat dan sudut keliling

  1. Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
     

        \[ \angle AOB = 2 \times ACB \]

  2.  

  3. Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.
     

        \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times AOB \]

  4.  

  5. Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama.

    Untuk kasus ini, perhatikan gambar di bawah!

    sudut keliling
     
    Perhatikan \angle ACB, \angle AXB, dan \angle AYB! Ketiganya menghadap busur yang sama, yaitu AB. Maka besar ketiga sudut tersebut adalah sama, \angle ACB = \angle AXB = \angle AYB.

  6.  

  7. Jumlah dari sudut keliling yang saling berhadapan adalah 180^{o}.
  8. Perhatikan gambar di bawah!
     
    sudut keliling
     
    Hubungan antara dua sudut keliling \angle PSR dan \angle PQR adalah

        \[ \angle PSR + \angle PQR = 180^{o}\]

 
 

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Perhatikan gambar berikut!
 
soal sudut pusat dan sudut keliling
 
Jika besar sudut AOB adalah 40^{o} maka besar \angle ACD adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 70^{o} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; 72^{o} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; 80^{o} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; 83^{o} \]

 
Pembahasan:
Garis DB merupakan garis lurus (Ingat!!! Besar sudut pada garis lurus adalah 180^{o}).

    \[ \angle AOD + \angle AOB = 180^{o} \]

    \[ \angle AOD + 40^{o} = 180^{o} \]

    \[ \angle AOD  = 180^{o} - 40^{o} \]

    \[ \angle AOD  = 140^{o} \]

Selanjutnya, perhatikan bahwa \angle ACD dan \angle AOD berturut-turut merupakan sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu AD, sehingga

    \[ \angle ACD = \frac{1}{2} \times \angle AOD\]

    \[ \angle ACD = \frac{1}{2} \times 140^{o} \]

    \[ \angle ACD = 70^{o}\]

Jawaban: A

 
Contoh Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling 2
Perhatikan gambar lingkaran di bawah!
 
soal sudut pusat dan sudut keliling
 
Jika besar \angle OBC adalah 65^{o} maka besar \angle AOC adalah ….

    \[ \textrm{A.}  \; \; \; 50^{o} \]

    \[ \textrm{B.}  \; \; \; 65^{o} \]

    \[ \textrm{C.}  \; \; \; 70^{o} \]

    \[ \textrm{D.}  \; \; \; 130^{o} \]

 
Pembahasan:
Panjang OB = OC = jari-jari lingkaran sehingga segitiga BOC adalah segitiga sama kaki.
Besar sudut \angle OBC = \angle OCB = 65^{o}
Ingat!!! Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180^{o}.
Sehingga,

    \[ \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^{o}\]

    \[ 65^{o} + 65^{o} + \angle BOC = 180^{o}\]

    \[ 130^{o} + \angle BOC = 180^{o} \]

    \[ \angle BOC = 180^{o} - 130^{o} \]

    \[ \angle BOC = 50^{o} \]

Perhatikan bahwa garis AC merupakan garis lurus sehingga,

    \[  \angle BOC + \angle AOC = 180^{o} \]

    \[  50^{o} + \angle AOC = 180^{o} \]

    \[  \angle AOC = 180^{o} - 50^{o} \]

    \[  \angle AOC = 130^{o} \]

 
Trik!!! Cara Cepat!

    \[  \angle AOC =  \angle OBC + \angle OCB \]

    \[  \angle AOC =  65^{o} + 65^{o} = 130^{o}\]

 
Jawaban: D
 
Sekian pembahasan mengenai sudut pusat dan sudut keliling, serta hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
 
Baca Juga: Sudut pada Segi Empat Tali Busur