Himpunan A memenuhi hubungan {1, 7} ⊂ A ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Jika 2 adalah anggota A, maka banyak himpunan A yang mungkin adalah ….
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 24
(E) 32

Jawab: (C)

• Dari soal diketahui:
  • 2 adalah anggota A
  • {1, 7} ⊂ A ⊂{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Contoh himpunan A yang mungkin adalah {1, 2, 7}; {1, 2, 3, 7}; {1, 2, 4, 7}; dan seterusnya.

Maksimum banyak anggota himpunan A adalah tujuh anggota karena A ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Minimum anggota himpunan A adalah tiga anggota yaitu {1, 2, 7} karena {1, 7} ⊂ A dan 2 adalah anggota A.

Ada empat anggota himpunan yang dapay menjadi anggota himpunan A yaitu {3, 4, 5, 6, 7}. Selanjutnya, banyak himpunan A yang mungkin dihitung dengan cara berikut.

• Untuk anggota himpunan A dengan 3 anggota hanya memiliki satu kemungkinan yaitu {1, 2, 7}. Tidak ada lagi anggota himpunan lain yang bisa ditambahkan dari {3, 4, 5, 6, 7}

• Untuk anggota himpunan A dengan 4 anggota, banyaknya sama dengan cara menambahkan 1 anggota dari 4 anggota yang munking. Caranya dengan rumus kombinasi ₄C₁

• Untuk anggota himpunan A dengan 5 anggota, banyaknya sama dengan cara menambahkan 2 anggota dari 4 anggota yang munking. Caranya dengan rumus kombinasi ₄C₂

• Untuk anggota himpunan A dengan 6 anggota, banyaknya sama dengan cara menambahkan 3 anggota dari 4 anggota yang munking. Caranya dengan rumus kombinasi ₄C₃

• Untuk anggota himpunan A dengan 7 anggota, banyaknya sama dengan cara menambahkan 4 anggota dari 4 anggota yang munking. Caranya dengan rumus kombinasi ₄C₄

Rumus kombinasi r obyek dari n obyek:

Banyak himpunan anggota A yang mungkin

= 1 +  ₄C₁ +  ₄C₂ +  ₄C₃ + ₄C₄ 

= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

Jadi, banyak himpunan A yang mungkin adalah 16 (C).

TRIK CEPAT

Untuk banyak n anggota yang ditambahkan ke dalam suatu himpunan. Banyak himpunan bagian yang akan terjadi sama dengan 2ⁿ.

Pada soal, ada empat anggota yang ditambahkan ke dalam suatu himpunan. Sehingga banyak himpunan A adalah 2⁴ = 16.