Bayangan kurva y = x^2-1 oleh dilatasi pusat O faktor skala

Bayangan kurva y = x^2-1 oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y, adalah ….
A. y = ½x² ‒ 1
B. y = ½x² + 1
C. y = ‒½x² + 2
D. y = ‒½x² ‒ 2
E. y = ½x² ‒ 2

Jawab: E

Hasil bayangan kurva y = x^2-1 oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 yang dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y dapat dicari melalui dua cara. Pertama, caranya dengan melakukan satu demi satu transformasi geometri yang dilakukan. Kedua, caranya dengan operasi komposisi matriks transformasi geometri.

Cara #1

Bayangan kurva y = x^2-1 oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 dilakukan dengan malakukan transformasi geometri setiap titik pada garis. Hasil transformasi geomerti untuk titik P(x, y) oleh dilatasi pada pusat O dengan faktor skala 2 adalah P'(2x. 2y).

Misalkan hasil transformasi setiap titik adalah x’ dan y’ maka diperoleh persamaan x’ = 2x (x = ½x’) dan y’ = 2y (y = ½y’).

Substitusi persamaan (i) x = ½x’ dan (ii) y = ½y’ pada persamaan kurva y = x² ‒ 1 untuk mendapatkan hasil transformasi kurva tersebut oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2.

Hasil transformasi kurva y = x² ‒ 1 oleh dilatasi O(0, 0) dengan faktor skala 2:
y = x² ‒ 1
½y’ = (½x’)² ‒ 1
½y’ = ¼x’² ‒ 1 |kedua ruas dikali 2|
y’ = ½x’² ‒ 2

Diperoleh persamaan bayangan kurva y = x² ‒ 1 oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 adalah y = ½x² ‒ 2. Selanjutnya kurva dengan persamaan y = ½x² ‒ 2 dicerminkan terhadap sumbu y.

Hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap sumbu y adalah P'(‒x, y). Misalkan setiap titik hasil pencerminan terhdap sumbu y adalah P”(x”, y”) maka diperoleh persamaan x” = ‒x (x = ‒x”) dan y” = y (y = y”).

Substitusi nilai (iii) x = ‒x” dan (iv) y = y” pada persamaan kurva y = ½x² ‒ 2 untuk mendapatkan bayangan kurva tersebut karena pencerminan terhadap sumbu y.

Bayangan kurva y = ½x² ‒ 2 oleh pencerminan terhadap sumbu y:
y = ½x² ‒ 2
y” = ½(‒x”)² ‒ 2
y” = ½x”² ‒ 2

Diperoleh bayangan kurva y = ½x² ‒ 2 oleh pencerminan terhadap sumbu y adalah y = ½x² ‒ 2.

Jadi, bayangan kurva y = x^2-1 oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2, dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y adalah y = ½x² ‒ 2.

Cara #2

Komposisi matriks transformasi geometri untuk dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y sesuai dengan bentuk persamaan matriks bawah.

Diperoleh dua persamaan yaitu, x’ = ‒2x dan y’ = 2y atau x = ‒½x’ dan y = ½y’. Bayangan kurva y = x^2-1 oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 dapat diketahui dengan cara subsitusi persamaan x dan y pada persamaan kurva tersebut.

Menentukan bayangan kurva y = x^2-1:
y = x² ‒ 1
(½y’) = (‒½x’)² ‒ 1
½y’ = ¼x’² ‒ 1 |kedua ruas dikali 2|
y’ = ½x’² ‒ 2

Diperoleh bayangan kurva y = x^2-1 oleh dilatasi pusat O dengan faktor skala 2 yang dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y adalah y = ½x² ‒ 2.