Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika dan Geometri 2

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika dan Geometri 2 merupakan kumpulan soal barisan dan deret aritmatika serta geometri untuk soal dengan level kognitif aplikasi. Kemampuan yang perlu disiapkan untuk menyelesaikan soal barisan dan deret aritmatika dan geometri adalah rumus-rumus yang terkait kedua jenis barisan dan deret tersebut. Sobat idschool juga perlu sering-sering mengerjakan latihan soal barisan dan deret aritmatika dan geometri untuk melatih pemahaman sobat idschool soal barisan dan deret aritmatika dan geometri. Selain itu, sobat idschool perlu mengetahui apa perbedaan dari kedua jenis barisan dan deret tersebut.

Barisan dan Deret Aritmatika

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Barisan Aritmatika

Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

Pembahasan:

Diketahui:

\[ U_{3} = 36 \rightarrow a + 2b = 36 \; \; \; (1) \]

Dan

\[ U_{5} + U_{7} = 144 \] \[ a + 4b + a + 6b = 144 \] \[ 2a + 10b = 144 \] \[ a + 5b = 72 \; \; \; (2) \]

Mencari nilai suku pertama (a) dan beda (b):

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2):

\[ a + 5b – (a + 2b) = 72 – 36 \] \[ 5b – 2b = 36 \] \[ 3b = 36 \; \rightarrow \; b = \frac{36}{3} = 12 \]

Substitusi nilai b = 12 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

\[ a + 2b = 36 \] \[ a + 2 \cdot 12 = 36 \] \[ a + 24 = 36 \] \[ a = 36 – 24 = 12 \]

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah

\[ S_{n} = \frac{n}{2} \left( 2a + (n – 1)b \right) \] \[ S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2 \cdot 12 + 9 \cdot 12 \right) \] \[ = 5 \left( 24 + 108 \right) \] \[ = 5 \times 132 \] \[ = 660 \]

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal UN Barisan Aritmatika

Sebuah suku ke-5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku yang pertama deret tersebut adalah ….

A. 68

B. 72

C. 76

D. 80

E. 84

Pembahasan:

Diketahui:

\[ U_{5} = 11 \rightarrow a + 4b = 11 \; \; \; (1) \]

Dan,

\[ U_{8} + U_{12} = 52 \] \[ a + 7b + a + 11b = 52 \] \[ 2a + 18b = 52 \] \[ a + 9b = 26 \; \; \; (2) \]

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2) untuk medapatkan nilai b.

\[ a + 4b – (a + 9b) = 11 – 26 \] \[ a + 4b – a – 9b = – 15 \] \[ 4b – 9b = – 15 \] \[ – 5b = – 15 \] \[ b = \frac{-15}{-5} = 3 \]

Substitusi nilai b = 3 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

\[ a + 4b = 11 \] \[ a + 4 \cdot 3 = 11 \] \[ a + 12 = 11 \] \[ a = 11 – 12 = – 1 \]

Jadi, jumlah 8 suku yang pertama deret tersebut adalah

\[ S_{8} = \frac{8}{2} \left( 2a + (n – 1)b \right) \] \[ = 4 \left( 2 \cdot (- 1) + 7 \cdot 3 \right) \] \[ = 4 \left( – 2 + 21 \right) \] \[ = 4 \times 19 \] \[ = 76 \]

Jawaban: C

Contoh 3 – Soal UN Barisan Aritmatika

Suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah 154. Jumlah suku kelima dan suku ketujuh adalah 290. Jumlah 10 suku pertama sama dengan ….

A. 3.470

B. 1.735

C. 1.465

D. 1.425

E. 1.375

Pembahasan:

Diketahui:

\[ U_{3} = 154\] \[ a + 2b = 154 \; \; \; \; (1) \]

Dan

\[ U_{5} + U_{7} = 290 \] \[ a + 4b + a + 6b = 290 \] \[ 2a + 10b = 290 \] \[ a + 5b = 145 \; \; \; \; \; (2) \]

Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2) untuk mendapatkan nilai b.Substitusi nilai b = – 3 untuk mendapatkan nilai a:

\[ a + 5b = 145 \] \[ a + 5 \cdot (-3) = 145 \] \[ a – 15 = 145 \] \[ a = 145 + 15 = 160 \]

Jadi, panjang tali semula adalah

\[ S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2 \cdot 160 + (10 – 1)(- 3) \right) \] \[ = 5 \left( 320 + 9(- 3) \right) \] \[ = 5 \left( 320 – 27 \right) \] \[ = 5 \times 293 \] \[ = 1.465 \]

Jawaban: C

Contoh 4 – Soal UN Barisan Aritmatika

Suku ketiga suatu barisan aritmatika adalah 22. Jika jumlah suku ketujuh dan suku ke sepuluh adalah 0, maka jumlah lima suku pertama sama dengan ….

A. 30

B. 60

C. 85

D. 110

E. 220

Pembahasan:

Diketahui suku ketiga (U₃) dan jumlah suku ketujuh (U₇) dan suku kesepuluh (U₁₀).

\[ U_{3} = 22 \] \[ a + 2b = 22 \; \; \; \; (1) \]

Dan

\[ U_{7} + U_{10} = 0 \] \[ a + 6b = a + 9b = 0 \] \[ 2a + 15b = 0 \; \; \; \; (2) \]

Eliminasi a dari dua kali persamaan (1) dan persamaan (2) untuk mendapatkan nilai b.

\[ 2(a + 2b) – (2a + 15b) = 2 \cdot 22 – 0 \] \[ 2a + 4b – 2a – 15b = 44 \] \[ – 11b = 44 \] \[ b = – \frac{44}{11} = – 4 \]

Substitusi nilai b = – 4 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

\[ a + 2b = 22 \] \[ a + 2 \cdot (-4) = 22 \] \[ a – 8 = 22 \] \[ a = 22 + 8 = 30 \]

Jadi, jumlah lima suku pertama sama dengan

\[ S_{5} = \frac{5}{2} \left( 2 \cdot 30 + (5 – 1)(- 4) \right) \] \[ = \frac{5}{2} \left( 60 + 4 \cdot (- 4) \right) \] \[ = \frac{5}{2} \left( 60 – 16 \right) \] \[ = \frac{5}{2} \times 44 = 110 \]

Jawaban: D

Barisan dan Deret Geometri

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Barisan Aritmatika

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi $\frac{3}{4}$ dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah ….

A. Rp20.000.000,00

B. Rp25.312.000,00

C. Rp33.750.000,00

D. Rp35.000.000,00

E. Rp45.000.000,00

Pembahasan:

Berdasarkan informasi dari soal cerita pada soal, dapat diperoleh informasi suku pertama (a) dan rasio (r).

\[ a = Rp80.000.000,00 \] \[ r = \frac{3}{4} \]

Setelah 3 tahun, nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah

\[ = 80.000.000 \times \left( \frac{3}{4} \right)^{3} \] \[ = 80.000.000 \times \left( \frac{27}{64} \right) \] \[ = 33.750.000 \]

Jawaban: C

Contoh 2 – Soal UN Barisan Aritmatika

Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah ….

A. 640 bakteri

B. 3.200 bakteri

C. 6.400 bakteri

D. 12.800 bakteri

E. 32.000 bakteri

Pembahasan:

Berdasarkan soal cerita pada soal dapat diperoleh informasi suku rasio (r) dan suku ketiga (U₃).

\[ r = 2 \] \[ U_{3} = 400 \]

Mencari nilai suku pertama (a):

\[ U_{3} = 400 \] \[ ar^{2} = 400 \] \[ a \times 2^{2} = 400 \] \[ a \times 4 = 400 \] \[ a = \frac{400}{4} = 100 \]

Suku ke pada menit ke 35:

\[ = \frac{35}{5} \] \[ = 7 \; \rightarrow \; U_{7} \]

Jadi, banyaknya bakteri pada waktu tiga puluh lima menit pertama (U₇) adalah

\[ U_{7} = a \times r^{6} \] \[ = 100 \times 2^{6} \] \[ = 100 \times 64 \] \[ = 6.400 \]

Jawaban: C

Contoh 3 – Soal UN Barisan Aritmatika

Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian yang panjangnya masing-masing membentuk deret geometri. Apabila tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 384 cm, maka panjang tali semula adalah ….

A. 387 cm

B. 465 cm

C. 486 cm

D. 765 cm

E. 768 cm

Pembahasan:

Diketahui deret geometri dengan suku pertama (a = U₁) adan suku kedelapan (U₈) adalah

\[ a = U_{1} = 3 \] \[ U_{8} = 384 \]

Mencari rasio (r):

\[ U_{8} = 384 \] \[ ar^{7} = 384 \] \[ 3 \cdot r^{7} = 384 \] \[ r^{7} = \frac{384}{3} \] \[ r^{7} = 128 \rightarrow r = 2 \]

Jadi, maka panjang tali semula (S₈)adalah

\[ S_{n} = \frac{a(r^{n} – 1)}{r – 1} \] \[ S_{8} = \frac{3(2^{8} – 1)}{2 – 1} \] \[ = \frac{3(256 – 1)}{2 – 1} \] \[ = \frac{3 \times 255}{1} = 765 \; \textrm{cm} \]

Pembahasan: D

Contoh 4 – Soal UN Barisan Aritmatika

Setiap tahun harga jual tanah di sebuah komplek perumahan mengalami kenaikan 20% dari tahun sebelumnya, sedangkan harga jual bangunannya mengalami penurunan 5% dari tahun sebelumnya. Harga jual sebuah rumah (tanah dan bangunan) saat ini di komplek tersebut apabila 5 tahun yang lalu dibeli seharga 210 juta rupiah dan perbandingan harga jual tanah terhadap bangunan pada saat pertama kali membeli adalah 4 : 3 adalah … juta rupiah.

\[ \textrm{A.} \; \; \; 120 \left( \frac{6}{5} \right)^{4} + 90 \left( \frac{19}{10} \right)^{4} \] \[ \textrm{B.} \; \; \; 90 \left( \frac{6}{5} \right)^{5} + 120 \left( \frac{19}{10} \right)^{5} \] \[ \textrm{C.} \; \; \; 90 \left( \frac{1}{5} \right)^{4} + 90 \left( \frac{19}{20} \right)^{4} \] \[ \textrm{D.} \; \; \; 120 \left( \frac{1}{5} \right)^{5} + 90 \left( \frac{19}{10} \right)^{5} \] \[ \textrm{E.} \; \; \; 120 \left( \frac{6}{5} \right)^{5} + 90 \left( \frac{19}{10} \right)^{5} \]

Pembahasan:

Harga jual bangunan (tanah dan rumah) saat pertama kali membeli adalah Rp210.000.000,00 dengan perbandingan tanah : bangunan = 4 : 3.

Harga tanah saat pertama kali membeli

\[ = \frac{4}{7} \times Rp21.000.000,00 \] \[ = Rp120.000.000,00 \]

Harga bangunan saat pertama kali membeli

\[ = \frac{3}{7} \times Rp21.000.000,00 \] \[ = Rp90.000.000,00 \]

Harga tanah setiap tahun naik 20%:

\[ H_{5} = \left( 1 + 20 \% \right)^{5} \times 120 \] \[ = \left( \frac{120}{100} \right)^{5} \times 120 \] \[ = \left( \frac{6}{5} \right)^{5} \times 120 \]

Harga bangunan setiap tahun turun 5%:

\[ H_{5} = \left( 1 – 5 \% \right)^{5} \times 90 \] \[ = \left( \frac{95}{100} \right)^{5} \times 90 \] \[ = \left( \frac{19}{20} \right)^{5} \times 90 \]

Jadi, harga jual bangunan (tanah dan rumah) setelah 5 tahun adalah

\[ H_{5} = 120 \left( \frac{6}{5} \right)^{5} + 90 \left( \frac{19}{20} \right)^{5} \]

Jawaban: E

Sekian ulasan tentang barisan dan deret aritmatika dan
geometri untuk level kognitif aplikasi. Terimakasih telah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.