Contoh Soal Integral 3

Contoh soal integral 3 adalah bagian contoh soal un dengan materi integral, baik integral tentu atau integral tak tentu, yang setara dengan level kognitif penalaran. Materi yang perlu dikuasai untuk dapat mengerjakan contoh soal integral level kognitif aplikasi adalah pengertian dasar integral, operasi aljabar yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, sampai pemfaktoran, serta dasar fungsi lain seperti fungsi trigonometri, eksponen, logaritama, logaritma alami, dan lain sebagainya. Selain itu, kemampuan menggambar grafik atau kurva juga dibutuhkan untuk membantu penyelesaian soal un integral.

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Integral

Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah … satuan volume.

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 8 \pi \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{13}{2} \pi \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; 4 \pi \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{8}{3} \pi  \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{5}{4} \pi \]

Pembahasan:

Langkah pertama yang perlu dilakukan untuk menghitung volume benda dari daerah yang dibatasi kurva adalah mencari batas integral dan mengetahui daerah yang akan dicari volumenya.

Batas integral dari volume benda putar yang dapat diperoleh dari perpotongan kurva yang membatasi daerah pengintegralan.

Mendapatkan titik potong kurva:

    \[ - x^{2} + 4 = - 2x + 4 \]

    \[ x^{2} - 2x + 4 - 4 = 0 \]

    \[ x^{2} - 2x = 0 \]

    \[ x \left( x - 2 \right) = 0 \]

Diperoleh dua nilai yaitu:

  1. Nilai pertama:

        \[ x = 0 \rightarrow y = 4 \]

  2.  
  3. Nilai kedua:

        \[ x - 2 = 0 \rightarrow x = 2, \; y = 0 \]

Titik perpotongan tersebut akan berguna sebagai batas pengintegralan.

Selanjutnya adalah mengetahui daerah yang akan diintegralkan melalui gambar.

Perhatikan gambar di bawah!

Contoh Soal Mencari Volume Benda Putar

Jika sobat idschool belum bisa bagaimana cara menggambar garis lurus dari persamaan linear dan cara menggambar kurva berbentuk parabola bisa dipelajari terlebih dahulu.

Setelah mengetahui batas integral dan daerah yang dibatasi kurva yang akan dicari volumenya, selanjutnya adalah menentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva.

Karena daerah diputar mengelilingi sumbu y, kita perlu mengetahui nilai dari persamaan x12 dan x22.

Persamaan x12:

    \[ y = - x^{2} + 4 \]

    \[ x^{2} = 4 - y \]

Persamaan x22:

    \[ y = -2x + 4 \]

    \[ 2x = 4 - y \]

    \[ x = \frac{4 - y}{2} \]

    \[ x^{2} = \left( \frac{4 - y}{2} \right)^{2} \]

Jadi, volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah

    \[ V = \pi \int_{0}^{4} [ \left( 4 - y \right) - \left( \frac{4 - y}{2} \right)^{2} ] dy \]

    \[ = \pi \int_{0}^{4} [ \left( 4 - y \right) - \frac{1}{4} \left( 4 - y \right)^{2} ] dy \]

    \[ = \pi [ 4y - \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{4} \cdot - \frac{1}{3} \left( 4 - y \right)^{3} ]_{0}^{4} \]

    \[ = \pi [ \left( 4 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 4^{2} + \frac{1}{12} \left( 4 - 4 \right)^{3} \right) - \left( 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{1}{12} \left( 4 - 0 \right)^{3} \right)]  \]

    \[ = \pi [ \left( 16 - \frac{1}{2} \cdot 16 + \frac{1}{12} \cdot 0 \right) - \left( 0 - 0 + \frac{1}{12} \cdot 64 \right)]  \]

    \[ = \pi \left( 16 - 8 + 0 \right) - \frac{64}{12} \]

    \[ = \pi \left( 8 - \frac{16}{3} \right) \]

    \[ = \frac{8}{3} \pi \]

Jawaban: D

Contoh 2 – Soal UN Integral

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh y = 2x dan parabola y = x2 diputar sejauh 360o} mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume.

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{32}{5} \pi \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{64}{15} \pi \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{52}{15} \pi \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{48}{15} \pi \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{32}{15} \pi \]

Pembahasan:

Mendapatkan titik potong kurva:

    \[ x^{2} = 2x \]

    \[ x^{2} - 2x= 0 \]

    \[ x \left( x - 2 \right) = 0 \]

    \[ x = 0 \; \textrm{atau} \; x - 2 = 0 \]

    \[ x = 0 \; \textrm{atau} \; x = 2 \]

Diperoleh dua nilai x = 0 atau x = 2.

Titik perpotongan tersebut akan berguna sebagai batas pengintegralan.

Selanjutnya adalah mengetahui daerah yang akan diintegralkan melalui gambar.

Baca Juga: Materi Volume Benda Putar

Jadi, volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh y = 2x dan parabola y = x2 diputar sejauh 360o} mengelilingi sumbu x adalah

    \[ V = \pi \int_{0}^{2} \left( y_{1}^{2} - y_{1}^{2} \right) dx \]

    \[ = \pi \int_{0}^{2} \left( (2x)^{2} - (x^{2})^{2} \right) dx \]

    \[ = \pi [ \frac{4}{3} x^{2} - \frac{1}{5}x^{4} ]_{0}^{2} \]

    \[ = \pi [ \left( \frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5} \right) - \left( \frac{4}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5} \right) ] \]

    \[ = \pi [ \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{5} \cdot 32 \right) - \left( \frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \right) ] \]

    \[ = \pi \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right) \]

    \[ = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{96}{5} \right) \]

    \[ = \frac{64}{15} \pi \]

Jawaban: B

Sekian ulasan mengenai contoh soal integral untuk level kognitif penalaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga:

Atau menuju halaman utama Bahas Tuntas Kisi-Kisi UN Matematika SMA IPA