Contoh Soal Kaidah Pencacahan 3

Contoh Soal Kaidah Pencacahan 3 adalah halaman yang memuat kumpulan soal un dengan materi kaidah pencacahan yang sesuai untuk level kognitif penalaran. Bahasan dalam materi kaidah pencacahan meliputi tiga bahasan, yaitu aturan pengisian tempat, permutasi, dan kombinasi. Pada level kognitif penalaran, bentuk soal aturan pengisian tempat, bentuk soal un kaidah pencacahan permutasi, kaidah pencacahan kombinasi, akan menguji kemampuan bernalar dalam memecahkan persoalan terkait topik kkaidah pencacahan.

Berikut ini akan diberikan contoh soal kaidah pencacahan aturan pengisian tempat, contoh soal un kaidah pencacahan permutasi, dan contoh soal un kaidah pencacahan kombinasi untuk level kognitif penalaran.

Kaidah Pencacahan – Aturan Pengisian Tempat

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Aturan Pengisian Tempat

Terdapat 8 pria dan 5 wanita calon pengurus karang taruna dengan kedudukan sebagai ketua I, ketua II, sekretaris I, sekretaris II, bendahara I, bendahara II, dan humas. Jika ketua harus pria dan sekretaris harus kedua pria atau keduanya wanita, maka banyaknya cara yang mungkin dalam melakukan penyusunan kepengurusan tersebut adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 5^{2} \cdot 6^{2} \cdot 350 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; 6^{2} \cdot 7^{2} \cdot 350 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; 7^{2} \cdot 8^{2} \cdot 450 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; 7^{2} \cdot 9^{2} \cdot 450 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; 8^{2} \cdot 9^{2} \cdot 450 \]

Pembahasan:

Banyaknya susunan kepengurusan untuk kedua sekretaris pria:

Sediakan kolom seperti di bawah:

Soal un aturan pengisian tempat

Cara mengisi kolom

  1. Kolom I ketua dapat diisi oleh 8 orang (banyaknya pria ada 8 orang).
  2. Kolom II ketua dapat diisi oleh 7 orang (dari 8 pria sudah mengisi 1 posisi untuk kolom sebelumnya).
  3. Kolom I sekretaris dapat diisi oleh 6 orang (dari 8 pria sudah mengisi 2 posisi untuk kolom sebelumnya).
  4. Kolom II sekretaris dapat diisi oleh 5 orang (dari 8 pria sudah mengisi 3 posisi untuk kolom sebelumnya).
  5. Kolom I bendahara dapat diisi oleh 9 orang (dari 5 wanita dan 4 pria yang belum mengisi kepengurusan).
  6. Kolom II bendahara dapat diisi oleh 8 orang (dari 9 wanita dan pria yang belum mengisi kepengurusan dikurangi satu karena telah mengisi satu posisi untuk kolom sebelumnya).
  7. Kolom humas dapat diisi oleh 7 orang (dari 9 wanita dan pria yang belum mengisi kepengurusan dikurangi dua karena telah mengisi dua posisi untuk kolom sebelumnya).

Sehingga, banyaknya susunan yang mungkin untuk memilih susunan kepengurusan dengan kedua ketua pria dan kedua sekretaris wanita adalah:

    \[ = 8 \cdot 7 \times 6 \cdot 5 \times 9 \cdot 8 \times 7 \]

Selanjutnya cara memilih untuk banyaknya susunan kepengurusan dengan kedua sekretaris wanita:

Contoh soal un aturan pengisian tempat dan pembahasan
  1. Kolom I ketua dapat diisi oleh 8 orang (banyaknya pria ada 8 orang).
  2. Kolom II ketua dapat diisi oleh 7 orang (dari 8 pria sudah mengisi 1 posisi untuk kolom sebelumnya).
  3. Kolom I sekretaris dapat diisi oleh 5 orang (banyaknya wanita ada 5 orang).
  4. Kolom II sekretaris dapat diisi oleh 4 orang (dari 4 wanita sudah mengisi 1 posisi untuk kolom sebelumnya).
  5. Kolom I bendahara dapat diisi oleh 9 orang (dari 3 wanita dan 6 pria yang belum mengisi kepengurusan).
  6. Kolom II bendahara dapat diisi oleh 8 orang (dari 9 wanita dan pria yang belum mengisi kepengurusan dikurangi satu karena telah mengisi satu posisi untuk kolom sebelumnya).
  7. Kolom humas dapat diisi oleh 7 orang (dari 9 wanita dan pria yang belum mengisi kepengurusan dikurangi dua karena telah mengisi dua posisi untuk kolom sebelumnya).

Sehingga, banyaknya susunan yang mungkin untuk memilih susunan kepengurusan dengan kedua ketua pria, kedua sekretaris wanita adalah:

    \[ = 8 \cdot 7 \times 5 \cdot 4 \times 9 \cdot 8 times 7 \]

Jadi, banyaknya cara yang mungkin dalam melakukan penyusunan kepengurusan sesuai kondisi pada soal tersebut adalah

    \[ = 8 \cdot 7 \times 6 \cdot 5 \times 9 \cdot 8 \times 7 + 8 \cdot 7 \times 5 \cdot 4 \times 9 \cdot 8 \times 7 \]

    \[ = 8 \cdot 7 \times 9 \cdot 8 \times 7 \left( 6 \cdot 5 + 5 \cdot 4 \right) \]

    \[ = 7^{2} \times 8^{2} \times 9 \left( 30 + 20 \right) \]

    \[ = 7^{2} \times 8^{2} \times 9 \times 50 \]

    \[ = 7^{2} \times 8^{2} \times 450 \]

Jawaban: C

Kaidah Pencacahan – Permutasi

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Permutasi

A, B, C, dan D akan berfoto secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{1}{12} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{1}{6}  \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{1}{3} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{2} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{2}{3} \]

Pembahasan:

Kemungkinan susunan yang dapat terjadi untuk susunan A dan B selalu berdampingan adalah:

    \[ _{3} P _{3} = \frac{3!}{(3 - 3)!} \]

    \[ = 3 \times 2 \times 1 \]

    \[ = 6 \; \textrm{susunan} \]

Pola yang mungkin terjadi untuk posisi A dan B selalu berdampingan adalah AB atau BA. Sehingga kemungkinan susunannya perlu dikalikan 2 sehingga menjadi 12.

Total kemungkinan susunan posisi A B C D yang dapat terjadi adalah

    \[ _{4} P _{4} = \frac{4!}{(4 - 4)!} \]

    \[ = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

    \[ = 24 \; \textrm{susunan} \]

Jadi peluang A dan B selalu berdampingan adalah:

    \[ P(A) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \]

Jawaban: D

Kaidah Pencacahan – Kombinasi

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Kombinasi

Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{1}{10} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{5}{36} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{1}{6} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{2}{11} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{4}{11} \]

Pembahasan:

Banyaknya cara mengambil 2 bola merah:

    \[ _{5} C _{2} = \frac{5!}{(5 - 2)! \cdot 2!} \]

    \[ = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 2!} \]

    \[ = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} \]

    \[ = 4 \cdot 5 = 10 \; \textrm{cara} \]

Banyaknya cara mengambil 1 bola biru:

    \[ _{4} C _{1} = \frac{4!}{(4 - 1)! \cdot 1!} \]

    \[ = \frac{3! \cdot 4}{3! \cdot 1!} \]

    \[ = 4 \; \textrm{cara} \]

Banyaknya cara pengambilan bola sekaligus:

    \[ _{12} C _{3} = \frac{12!}{(12 - 3)! \cdot 3!} \]

    \[ = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{9! \cdot 3!} \]

    \[ = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} \]

    \[ = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220 \; \textrm{cara} \]

Jadi, peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola biru adalah

    \[ P = \frac{ _{5} C _{2} \times _{4} C _{1}}{_{12} C _{3}} \]

    \[ = \frac{10 \cdot 4}{220} \]

    \[ = \frac{2}{11} \]

Jawaban: D

Sekian ulasan tentang materi kaidah pencacahan yang meliputi materi aturan pengisian tempat, permutasi, dan kombinasi untuk level kognitif penalaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga:

Atau menuju halaman bahas tuntas Kisi-Kisi UN Matematika SMA IPA