Contoh Soal Kedudukan dan Jarak: Titik, Garis, Bidang 3

Contoh Soal Kedudukan dan Jarak: Titik, Garis, dan Bidang 3 memuat kumpulan soal un dimensi tiga, khususnya kedudukan dan jarak, untuk level kognitif penalaran. Materi yang termuat meliputi jarak titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang, garis ke garis, garis ke bidang, dan jarak bidang ke bidang. Bentuk soal un dimensi tiga pada level kognitif penalaran membutuhkan pemahaman soal yang lebih dalam agar dapat mengerti maksud dari soal yang diberikan. Proses pengerjaannya juga membutuhkan nalar yang cukup tinggi agar dapat menyelesaikan soal yang diberikan. Di sini akan diberikan beberapa contoh soal un kedudukan dan jarak: titik, garis, dan bidang untuk level kognitif penalaran yang dapat sobat idschool gunakan sebagai latihan mempersiapkan ujian nasional.

Dengan banyak latihan soal un kedudukan dan jarak: titik, garis, dan bidang, sobat idschool akan terbiasa menyelesaikan soal. Sehingga soal akan terlihat lebih gampang. Simak contoh-contoh soal un dimensi 3 berikut ini.

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Dimensi Tiga Kedudukan dan Jarak

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 10 cm. Titik P dan titik Q berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB dan BC. Jarak garis PQ ke garis EG adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; \frac{2}{5} \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

$\textrm{B.} \; \; \; \frac{3}{5} \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

$\textrm{C.} \; \; \; \frac{4}{5} \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

$\textrm{D.} \; \; \; \frac{3}{2} \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

$\textrm{E.} \; \; \; \frac{5}{2} \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

Pembahasan:

Perhatikan garis PQ dan garis EG!

Jarak garis PQ terhadap garis EG sama dengan jarak titik M ke titik N.

Sebelum menentukan panjang MN, kita perlu menghitung panjang beberapa ruas garis terlebih dahulu.

Panjang PB = QB = 5 cm karena P dan Q merupakan titik tengah masing-masing rusuk.

Mencari panjang PQ:

Berdasarkan teorema Phytagoras, maka dapat diperoleh panjang PQ dengan cara berikut.

$PQ = \sqrt{BP^{2} + BQ^{2}}$

$PQ = \sqrt{5^{2} + 5^{2}}$

$PQ = \sqrt{25 + 25}$

$PQ = \sqrt{50}$

$PQ = \sqrt{25 \cdot 2}$

$PQ = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2}$

$PQ = 5 \sqrt{2} \; \textrm{cm}$

Mencari panjang QN:

$QN = \frac{1}{2} PQ$

$QN = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2}$

$QN = \frac{5}{2} \sqrt{2} \; \textrm{cm}$

Mencari panjang BN:

Berdasarkan teorema pythagoras (segitiga siku-siku di N), sehingga

$BN = \sqrt{BQ^{2} - QN^{2}}$

$BN = \sqrt{5^{2} - \left( \frac{5}{2} \sqrt{2} \right)^{2}}$

$BN = \sqrt{25 - \frac{25}{4} \cdot 2}$

$BN = \sqrt{\frac{100}{4} - \frac{50}{4}}$

$BN = \sqrt{\frac{50}{4}}$

$BN = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}}$

$BN = \frac{\sqrt{25 \cdot 2}}{2}$

$BN = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{2}}{2}$

$BN = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

$BN = \frac{5}{2} \sqrt{2} \; \textrm{cm}$

Mencari panjang FM:

FM merupakan setengah panjang diagonal sisi kubus (sisi EG), sehingga panjangnya adalah

$FM = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5 \sqrt{2} \; \textrm{cm}$

Ingat!!!

Panjang diagonal sisi kubus adalah $\textrm{sisi} \sqrt{2}$ .

Panjang diagonal ruang kubus adalah $\textrm{sisi} \sqrt{3}$ .

Selanjutnya perhatikan gambar berikut!

Soal dan Pembahasan soal mencari jarak antara dua jarak

Mencari panjang MF’:

$MF' = MF - BN$

$MF' = 5 \sqrt{2} - \frac{5}{2} \sqrt{2}$

$MF' = \frac{10}{2} \sqrt{2} - \frac{5}{2} \sqrt{2}$

$MF' = \frac{5}{2} \sqrt{2} \; \textrm{cm}$

Mencari Panjang MN:

$MN = \sqrt{\textrm{MF'}^{2} + \textrm{NF'}^{2}}$

$MN = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \sqrt{2} \right) ^{2} + 10^{2}}$

$MN = \sqrt{ \frac{25}{4} \cdot {2} + 100}$

$MN = \sqrt{ \frac{50}{4} + \frac{400}{4}}$

$MN = \sqrt{ \frac{450}{4}}$

$MN = \frac{\sqrt{450}}{\sqrt{4}}$

$MN = \frac{\sqrt{225 \cdot 2}}{2}$

$MN = \frac{{\sqrt{225} \cdot \sqrt{2}}}{2}$

$MN = \frac{{15\sqrt{2}}}{2}$

$MN = \frac{15}{2}\sqrt{6} \; \textrm{cm}$

Jadi panjang garis MN dengan garis EG adalah $\frac{15}{2} \sqrt{2}$ cm.

Jawaban: E

Contoh 2 – Latihan Soal UN Dimensi Tiga Kedudukan dan Jarak

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH!

Jarak titik A ke garis HB adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; 6 \sqrt{2} \; \textrm{cm}$

$\textrm{B.} \; \; \; 3 \sqrt{2} \; \textrm{cm}$

$\textrm{C.} \; \; \; 2 \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

$\textrm{D.} \; \; \; 2 \sqrt{2} \; \textrm{cm}$

$\textrm{E.} \; \; \; \sqrt{3} \; \textrm{cm}$

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Jarak titik A ke garis HB sama dengan jarak titik A ke titik P. Gunakan perbandingan sisi yang sesuai pada materi kesebangunan.

Mencari panjang AP:

$\frac{AP}{AB} = \frac{AH}{HB}$

$\frac{ AP}{6} = \frac{6 \sqrt{2}}{6 \sqrt{3}}$

$AP = \frac{6 \sqrt{2}}{6 \sqrt{3}} \cdot 6$

$AP = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$AP = \frac{6 \sqrt{6}}{3} = 2 \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

Jadi, jarak titik A ke garis HB adalah $2 \sqrt{6}$ cm.

Jawaban: C

Sekian ulasan tentang contoh soal kedudukan dan jarak untuk level kognitif penalaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.