Contoh Soal Lingkaran Matematika SMP (2)

Hola sobat idschool, pada halaman ini idschool akan mengupas tentang contoh soal lingkaran. Seperti kisi-kisi yang telah dikeluarkan BSNP, materi lingkaran akan kembali muncul di ujian nasional tahun 2020. Kisi-kisi untuk soal un lingkaran diberikan dalam 3 (tiga) level kognitif, yaitu pengetahuan dan pemahaman, aplikasi, dan penalaran. Halaman ini akan membahas kisi-kisi UN 2020 dengan materi lingkaran untuk level kognitif aplikasi.

Simak kumpulan soal UN dengan materi lingkaran pada pembahasan di bawah.

Contoh 1: Soal UN Matematika SMP/MTs Tahun 2019

Pengrajin membuat topi dari karton dengan bentuk seperti tampak pada gambar.

Luas karton yang dibutuhkan adalah ….(π = 3,14)
A. 1.695,6 cm²
B. 1.758,4 cm²
C. 2.072,4 cm²
D. 2.386,4 cm²

Pembahasan:

Luas karton yang dibutuhkan sama dengan luas permukaan kerucut tanpa tutup dan luas lingkaran dengan bagian yang berlubang di tengahnya.

Mencari luas selimut kerucut (L₁):

Mencari luas lingkaran yang berlubang di bagian tengahnya (L₂):

Jadi luas karton yang dibutuhkan untuk membuat topi adalah
= L₁ + L₂
= 816,4 cm²+ 942 cm²
= 1.758,4 cm²

Jawaban: B

Contoh 2: Latihan Soal UN Matematika SMP/MTs Tahun 2019

Perhatikan gambar di bawah!

Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah ….

A. 12 cm

B. 15 cm

C. 17 cm

D. 21 cm

Pembahasan:

Perhatikan gambar yang sudah dilengkapi dengan ukurannya seperti yang terlihat pada gambar berikut!

Panjang garis singgung AB = OB’, sehingga panjangnya adalah

$AB =\sqrt{OP^{2} - PC^{2}}$

$AB =\sqrt{OP^{2} - \left( R + r\right)^{2}}$

$AB =\sqrt{25^{2} - \left( 10 + 5\right)^{2}}$

$AB =\sqrt{625 - 225}$

$AB =\sqrt{225} = 15\;cm$

Jadi, panjang garis singgung AB adalah 15 cm.

Jawaban: B

Contoh 3: Soal UN MATEMATIKA SMP/MTs 2016

Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….

A. 6 cm

B. 8 cm

C. 9 cm

D. 10 cm

Pembahasan:

Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.

Panjang jari-jari lingkaran P adalah:

$AB =\sqrt{OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}}$

$AB^{2} =OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}$

$24^{2} =26^{2}-\left( 18 - r\right)^{2}$

$676 =576 - \left( 18 - r\right)^{2}$

$\left( 18 - r\right)^{2} =676 - 576$

$\left( 18 - r\right)^{2} = 100$

$18 - r = 10$

$- r = 10 -18$

$- r = -8 \rightarrow r = 8 \; cm$

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.

Jawaban: D

Contoh 4: Soal UN Matematika SMP/MTs Tahun 2013

Perhatikan gambar di bawah!

Jika luas juring ORS = 60 cm², luas juring OPQ adalah ….

A. 40 cm²

B. 75 cm²

C. 90 cm²

D. 105 cm²

Pembahasan:

$\frac{\angle ORS}{\angle OPQ} = \frac{L_{juring \; ORS}}{L_{juring \; OPQ}}$

$\frac{90^{o}}{135^{o}} = \frac{60^{o}}{L_{juring \; OPQ}}$

$\frac{2}{3} = \frac{60}{L_{juring \; OPQ}}$

$2 \cdot L_{juring \; OPQ} = 3 \times 60$

$2 \cdot L_{juring \; OPQ} = 180$

$L_{juring \; OPQ} = \frac{180}{2} = 90 \; cm^{2}$

Jawaban: C

Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng

Contoh 5: Soal UN MATEMATIKA SMP/MTs 2010

Ayah akan membuat taman berbentuk lingkaran dengan jari-jari 35 m. Di sekeliling taman akan ditanami pohon cemara dengan jarak 1 m. Jika satu pohon memerlukan biaya Rp25.000,00, seluruh biaya penanaman pohon cemara adalah ….

A. Rp5.900.000,00

B. Rp5.700.000,00

C. Rp5.500.000,00

D. Rp5.200.000,00

Pembahasan:

Mencari keliling lingkaran:

$K_{lingkaran} = \pi \times d$

$K_{lingkaran} = \frac{22}{7} \times 70$

$K_{lingkaran} = 220 \; \textrm{m}$

Banyak pohon cemara yang dibutuhkan sama dengan keliling lingkaran, sehingga biaya penanaman pohon cemara adalah

$= 220 \times Rp25.000,00$

$= Rp5.500.000,00$

Jadi, biaya penanaman pohon cemara yang dibutuhkan adalah Rp5.500.00,00.

Jawaban: C

Contoh 6: Soal UN MATEMATIKA SMP/MTs Tahun 2008

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 8 cm. Jika jarak titik pusat kedua lingkaran adalah 17 cm dan panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 10 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….

A. 5 cm

B. 6 cm

C. 7 cm

D. 9 cm

Pembahasan:

Berdasarkan data pada soal dapat diperoleh gambar seperti di bawah.

Panjang jari-jari yang lain adalah

$8 =\sqrt{17^{2} - PC^{2}}$

$8 =\sqrt{17^{2} - \left( R + \right)^{2}}$

$8^{2} = 17^{2} - \left( 10 + x \right)^{2}$

$64 = 289 - \left( 10 + x \right)^{2}$

$\left( 10 + x \right)^{2} = 289 - 64$

$\left( 10 + x \right)^{2} = 225$

$10 + x = \sqrt{225}$

$10 + x = 15$

$x = 15 - 10 = 5 \; cm$

Jadi, panjang garis singgung AB adalah 5 cm.

Jawaban: A

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Contoh 7: Soal UN MATEMATIKA SMP/MTs Tahun 2007

Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat A dan B, dengan panjang jari-jari masing-masing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak AB = 13 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah ….

A. 5 cm

B. 6 cm

C. 12 cm

D. 15 cm

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal, dapat diperoleh gambar seperti di bawah.

Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah OP = BB’.

$OP = \sqrt{AB^{2} - AB'^{2}}$

$OP = \sqrt{13^{2} - (7 - 2)^{2}}$

$OP = \sqrt{13^{2} - 5^{2}}$

$OP = \sqrt{169 - 25}$

$OP = \sqrt{144}$

$OP = 12 \; \textrm{cm}$

Jadi, panjang garis persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah 12 cm.

Jawaban: B

Contoh 8: Soal UN MATEMATIKA SMP/MTs Tahun 2006

Dua lingkaran A dan B masing-masing memiliki jari-jari berturut-turut 26 cm dan 16 cm. Jika jarak AB = 26 cm, panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah ….

A. 22 cm

B. 24 cm

C. 26 cm

D. 28 cm

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal, dapat diperoleh gambar seperti di bawah.