Contoh Soal Lingkaran Matematika SMP (3)

Hola sobat idschool, pada halaman ini idschool akan mengupas tentang contoh soal lingkaran. Seperti kisi-kisi yang telah dikeluarkan BSNP, materi lingkaran akan kembali muncul di ujian nasional tahun 2020. Kisi-kisi untuk soal un lingkaran diberikan dalam 3 (tiga) level kognitif, yaitu pengetahuan dan pemahaman, aplikasi, dan penalaran. Halaman ini akan membahas kisi-kisi UN 2020 dengan materi lingkaran untuk level kognitif penalaran.

Simak kumpulan soal UN dengan materi lingkaran pada pembahasan di bawah.

Contoh 1: Latihan Soal UN 2019 Matematika SMP

Perhatikan gambar di bawah!

Jika panjang AC dan BC berturut-turut 8 cm dan 15 cm maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah ….

A. 5 cm

B. 3,5 cm

C. 3 cm

D. 2,5 cm

Pembahasan:

Gambar pada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus berikut.

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

Dengan:

$s = \frac{1}{2} K_{\Delta ABC}$

Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu.

Mencari sisi miring AB:

$AB^{2} = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$

$AB^{2} = \sqrt{8^{2} + 15^{2}}$

$AB^{2} = \sqrt{64 + 225}$

$AB^{2} = \sqrt{289} = 17 \; \textrm{cm}$

Mencari keliling segitiga ABC:

$K_{\Delta ABC} = AB + AC + BC$

$K_{\Delta ABC} = 17 + 8 + 15$

$K_{\Delta ABC} = 48 \; \textrm{cm}$

Mencari keliling nilai s:

$s = \frac{1}{2} \times K_{\Delta ABC}$

$s = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \; \textrm{cm}$

Mencari luas segitiga ABC:

$L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC$

$L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15$

$L_{\Delta ABC} = 60 \; cm^{2}$

Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga pada soal di atas adalah

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

$r = \frac{60}{24} = 2,5 \; cm$

Jawaban: B

Contoh 2: Soal UN MATEMATIKA SMP 2016

Sebuah roda alat pemadat aspal berdiameter 77 cm akan menghaluskan aspal di jalan sepanjang 4.840 m. Maka, banyak putaran roda menggelinding pada aspal jalan tersebut adalah ….

A. 2 kali

B. 20 kali

C. 200 kali

D. 2.000 kali

Pembahasan:

$K_{roda} = \pi \times d$

$K_{roda} = \frac{22}{7} \times 77$

$K_{roda} = 242 \; \textrm{cm}$

Panjang jalan yang diaspal = 4.840 m = 484.000 cm

Banyak putaran roda menggelinding adalah

$= \frac{484.000}{242} = 2.000 \; \textrm{putaran}$

Jawaban: D

Contoh 3: Soal UN MATEMATIKA SMP 2013 dan 2011

Perhatikan gambar di bawah!

Titik O adalah pusat lingkaran.

Diketahui

$\angle ABE + \angle ACE + \angle ADE = 96^{o}$

Besar $\angle AOE$ adalah ….

A. 32^o

B. 48^o

C. 64^o

D. 84^o

Pembahasan:

Sudut keliling: $\angle ABE$ , $\angle ACE$ , dan $\angle ADE$

Sudut pusat: $\angle AOE$

Misalkan besar $\angle ABE$ , $\angle ACE$ , dan $\angle ADE$ adalah x, maka:

$\angle ABE + \angle ACE + \angle ADE = 96^{o}$

$x + x + x = 96^{o}$

$3x = 96^{o}$

$x = \frac{96^{o}}{3} = 32^{o}$

Besar sudut $\angle AOE$ adalah:

$\angle AOE = 2x$

$\angle AOE = 2 \times 32^{o}$

$\angle AOE = 64^{o}$

Jawaban: C

Contoh 4

Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah yang diarsir (daerah dengan warna biru) adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; 101 \frac{51}{224} cm^{2}$

$\textrm{B.} \; \; \; 100 \frac{51}{224} cm^{2}$

$\textrm{C.} \; \; \; 101 \frac{51}{244} cm^{2}$

$\textrm{D.} \; \; \; 100 \frac{51}{244} cm^{2}$

Pembahasan:

Untuk mengetahui luas daerah yang diarsir, kita perlu mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Sebelumnya, kita juga perlu mencari Keliling segitiga ABC, nilai s, dan segitiga ABC terlebih dahulu.

Mencari keliling segitiga:

$K_{\Delta ABC} = AB + BC + CA$

$K_{\Delta ABC} = 21 + 10 + 17$

$K_{\Delta ABC} = 48 \; \textrm{cm}$

Mencari nilai s:

$s = \frac{1}{2} \times K_{\Delta ABC}$

$s = \frac{1}{2} \times 48$

$s = 24 \; \textrm{cm}$

Karena segitiga di luar lingkaran merupakan segitiga tidak beraturan, maka luas diperoleh dengan cara berikut.

$L_{\Delta ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$L_{\Delta ABC} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}$

$L_{\Delta ABC} = \sqrt{24(14)(7)(3)}$

$L_{\Delta ABC} = \sqrt{7.056}$

$L_{\Delta ABC} = 84 \; cm^{2}$

Sehingga, nilai jari-jarinya adalah

$r = \frac{10 \times 17 \times 21}{4 \times 84}$

$r = \frac{3570}{336} \; cm$

$r = 10 \frac{210}{336} \; cm$

$r = 10 \frac{5}{8} \; cm$

Luas total lingkaran adalah

$L_{lingkaran} = \pi r^{2}$

$L_{lingkaran} = \frac{22}{7} \times 10\frac{5}{8} \times 10\frac{5}{8}$

$L_{lingkaran} = 100 \frac{550}{448}$

$L_{lingkaran} = 101 \frac{51}{224} cm^{2}$

Jawaban: A

Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

Contoh 5: Soal UN MATEMATIKA SMP 2005

Luas segitiga 84 cm² dengan panjang dua sisinya berturut-turut adalah 13 cm dan 14 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran dalamnya 4 cm, panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah ….

A. 6,875 cm

B. 7,625 cm

C. 8,125 cm

D. 8,25 cm

Pembahasan:

Mencari nilai s:

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

$4 = \frac{84}{s}$

$4s = 84 \rightarrow s = \frac{84}{4} = 21 \; \textrm{cm}$

Mencari sisi segitiga yang belum diketahui:

$s = \frac{1}{2} \times K_{segitiga}$

$21 = \frac{1}{2} (13 + 14 + x)$

$2 \times 21 = 27 + x$

$42 = 27 + x$

$x = 42 - 27 = 15 \; \textrm{cm}$

Mencari panjang jari-jari lingkaran luar:

$r = \frac{AB \times AC \times BC}{4 \times L_{\Delta ABC}}$

$r = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84}$

$r = \frac{2.730}{336} = 8,125 \; \textrm{cm}$

Jawaban: C

Bagaimana contoh soal dan pembahasan soal UN untuk materi lingkaran dengan level kognitif penalaran? Semoga dapat memahaminya dengan baik. Terimakasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat!!