Contoh Soal Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran 3

Contoh Soal Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran 3 berisi kumpulan soal – soal un lingkaran, meliputi pembahasan materi persamaan lingkaran dan garis singgung lingkaran untuk level kognitif penalaran. Bentuk soal un lingkaran sma dan soal un garis singgung lingkaran pada level ini berupa soal yang membutuhkan nalar agar dapat menyelesaikan soal dengan baik dan benar. Jadi, pada level ini, soal tidak hanya menguji pengetahuan tentang rumus untuk menyelesaikan soal un lingkaran sma. Namun, penalaran dalam menyelesaikan soal pada level ini juga dibutuhkan agar dapat menyelesaikan soal un lingkaran sma dengan baik dan benar.

Kemampuan yang perlu dikuasai agar dapat menyelesaikan soal un persamaan lingkaran adalah bentuk umum persamaan lingkaran, cara mencari pusat jika diketahui bentuk umum persamaan lingkaran, dan cara menentukan panjang jari-jari. Kemampuan untuk mengerjakan soal un garis singgung lingkaran, materi yang perlu dikuasai meliputi kriteria persamaan garis yang menyinggung lingkaran, serta kriteria persamaan garis lurus yang sejajar atau tegak lurus.

Selanjutnya, simak kumpulan soal un lingkaran untuk level kognitif penalaran yang akan diberikan berikut.

Contoh 1 – Latihan Soal UN Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

    \[ x^{2} + y^{2} + 6y - 51 = 0 \]

yang tegak lurus garis 4x + 3y – 12 = 0 adalah ….

  A.     3x – 4y + 22 = 0

  B.     3x – 4y – 28 = 0

  C.     3x + 4y – 34 = 0

  D.     3x + 4y + 46 = 0

  E.     3x + 4y – 58 = 0

Pembahasan:

Diketahui persamaan lingkaran:

    \[ x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 51 = 0 \]

Berdasarkan persamaan lingkaran tersebut dapat ditentukan pusat lingkaran dan jari-jari.

Pusat lingkaran:

    \[ P \left( - \frac{1}{2} \times (-4), \; - \frac{1}{2} \times 6 \right) = P(2, \; - 3) \]

Jari-jari:

    \[ r = \sqrt{2^{2} + (-3)^{2} + 51} \]

    \[ r = \sqrt{4 + 9 + 51} \]

    \[ r = \sqrt{64} \; \rightarrow \; r = \pm 8 \]

Garis 4x + 3y – 12 = 0 memiliki nilai gradien:

    \[ m_{1} = - \frac{4}{3} \]

Garis yang tegak lurus dengan garis 4x + 3y – 12 = 0 memiliki nilai gradien:

    \[ m_{2} = - \frac{1}{m_{1}} = \frac{3}{4} \]

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran

    \[ x^{2} + y^{2} + 6y - 51 = 0 \]

yang tegak lurus garis 4x + 3y – 12 = 0 adalah

    \[ y - y_{1} = m_{2} \left( x - x_{1} \right) \pm r \sqrt{m_{2}^{2} + 1} \]

    \[ y + 3 = \frac{3}{4} \left( x - 2 \right) \pm 8 \sqrt{ \left( \frac{3}{4} \right)^{2} + 1} \]

    \[ y + 3 = \frac{3}{4} \left( x - 2 \right) \pm 8 \sqrt{ \frac{9}{16} + 1} \]

    \[ 4(y + 3) = 3 \left( x - 2 \right) \pm 8 \sqrt{ \frac{9}{16} + \frac{16}{16}} \]

    \[ 4y + 12 = 3x - 6 \pm 8 \sqrt{ \frac{25}{16}} \]

    \[ 4y + 12 = 3x - 6 \pm 8 \times \frac{5}{4} \]

    \[ 4y + 12 = 3x - 6 \pm 2 \times 5 \]

    \[ 4y + 12 = 3x - 6 \pm 10 \]

Diperoleh dua persamaan garis singgung lingkaran:

    \[ 4y + 12 = 3x - 6 + 10 \rightarrow 3x - 4y - 8 = 0 \]

    \[ 4y + 12 = 3x - 6 - 10 \rightarrow 3x - 4y - 28 = 0 \]

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal UN Persamaan dan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung pada lingkaran

    \[ x^{2} + y^{2} − 6x + 4y + 4 = 0 \]

yang tegak lurus garis 5x + 12y − 12 = 0 adalah ….

  A.       12x − 5y = 7 atau 12x − 5y = 85

  B.       12x + 5y = 7 atau 12x + 5y = 85

  C.       12x + 5y = 7 atau 12x – 5y = 85

  D.       12x − 5y = 7 atau 12x + 5y = 85

  E.       5x − 12y = 7 atau 5x + 12y = 85

Pembahasan:

Diketahui persamaan lingkaran:

    \[ x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 4 = 0 \]

Pusat lingkaran:

    \[ P \left( - \frac{1}{2}A, \; - \frac{1}{2} B \right) = P \left( - \frac{1}{2} \times - 6, \; - \frac{1}{2} \times 4  \right) = P(3, -2) \]

Jari-jari lingkaran:

    \[ r = \sqrt{ 3^{2} + (-2)^{2} - 4 } \]

    \[ r = \sqrt{ 9 + 4 - 4 } \]

    \[ r = \sqrt{9} \; \rightarrow \; r = \pm 3 \]

Gradien garis 5x + 12y – 12 = 0 adalah m1:

    \[ m_{1} = - \frac{5}{12} \]

Gradien garis yang tegak lurus dengan 5x + 12y – 12 = 0 adalah m2:

    \[ m_{2} = - \frac{1}{m_{1}} = \frac{12}{5} \]

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 4 = 0 yang tegak lurus dengan garis 5x + 12y – 12 = 0 adalah:

    \[ y - y_{p} = m_{2} \left( x - x_{p} \right) \pm r \sqrt{m_{2}^{2} + 1} \]

    \[ y + 2 = \frac{12}{5} \left( x - 3 \right) \pm 3 \sqrt{\left( \frac{12}{5} \right)^{2} + 1} \]

    \[ y + 2 = \frac{12}{5} \left( x - 3 \right) \pm 3 \sqrt{\frac{144}{25} + \frac{25}{25}} \]

    \[ y + 2 = \frac{12}{5} \left( x - 3 \right) \pm 3 \sqrt{\frac{169}{25}} \]

    \[ y + 2 = \frac{12}{5} x - \frac{36}{5} \pm 3 \frac{13}{5} \]

    \[ y + 2 = \frac{12}{5} x - \frac{36}{5} \pm \frac{39}{5} \]

    \[ 5( y + 2) = 12x - 36 \pm 39 \]

    \[ 5y + 10 = 12x - 36 \pm 39 \]

    \[ 12x - 5y = 46 \pm 39 = 0 \]

Diperoleh dua persamaan garis singgung lingkaran:

Persamaan garis singgung lingkaran pertama:

    \[ 12x - 5y = 46 + 39  \]

    \[ 12x - 5y = 85 \]

Persamaan garis singgung kedua:

    \[ 12x - 5y = 46 - 39 \]

    \[ 12x - 5y = 7 \]

Jawaban: A

Sekian ulasan tentang contoh soal persamaan dan garis singgung lingkaran untuk level kognitif penalaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga:

Atau menuju halaman utama Bahas Tuntas Kisi-Kisi UN Matematika SMA IPA