Diketahui titik P(3 -1 2), B(1, -2, -1), dan C(0, 1, 1) membentuk segitiga PBC, Besar sudut PBC adalah ….

Diketahui titik P(3 -1 2), B(1, −2, −1), dan C(0, 1, 1) membentuk segitiga PBC. Besar sudut PBC adalah ….
A. 30^o
B. 45^o
C. 60^o
D. 90^o
E. 120^o

Jawab: C

Segitiga PBC sesuai dengan keterangan pada soal ditunjukkan pada gambar di bawah.

Besar sudut PBC sama dengan besar sudut antara ruas garis BP dan BC. Nilai besar sudut PBC dapat dicari menggunakan Aturan Cosinus.

Rumus aturan cosinus yang digunakan untuk menghitung besar sudut PBC:

PC² = BP² + BC² ‒ 2 · BP · BC · cos ∠PBC

Keterangan:
PC, BP, dan BC adalah panjang tiga sisi segitiga PBC.

Diketahui titik koordinat P, B, dan C. Panjang sisi segitiga PQR sama dengan jarak antara dua titik koordinat pada segitiga PBC.

Rumus jarak dua titik (x₁, y₁, z₁) dan (x₂, y₂, z₂):

d = √[(x₁ ‒ x₂)² + (y₁ ‒ y₂)² + (z₁ ‒ z₂)²]

Diketahui titik koordinat:
P(3, −1, 2 )
B(1, −2, −1)
C(0, 1, 1)

Panjang BP:
|BP| = √[(3‒1)² + (‒1‒(‒2))² + (2‒(‒1))²]
|BP| = √[2² + 1² + 3²]
|BP| = √[4+1+9] = √14

Panjang BC:
|BC| = √[(0‒1)² + (1‒(‒2))² + (1‒(‒1))²]
|BC| = √[(‒1)² + 3² + 2²]
|BC| = √[1 + 9 + 4] = √14

Panjang PC:
|PC| = √[(0‒3)² + (1‒(‒1))² + (1‒2)²]
|PC| = √[(‒3)² + 2² + (‒1)²]
|PC| = √[9 + 4 + 1] = √14

Misalkan ∠PBC = θ
Menghitung besar sudut PQR:
|PC|²=|BP|²+|BC|²‒2·|BP|·|BC|·cos θ
14 = 14 + 14 ‒ 2·√14·√14·cos θ
14 = 28 ‒ 28 · cos θ
14 ‒ 28 = ‒28 · cos θ
‒14 = ‒28·cos θ
14 = 28·cos θ
cos θ = ¹⁴/₂₈
cos θ = ¹/₂ → θ = 60^o

Jadi, besar sudut PBC pada segitiga dengan diketahui titik P(3 -1 2), B(1, ‒2, ‒1), dan C(0, 1, 1) adalah 60^o.