Fungsi f(x) akan naik pada interval

Diketahui sebuah fungsi f(x) = ⁷/₃x³ ‒ 16x² ‒ 15x + 6. Fungsi f(x) akan naik pada interval ….
A. ‒⁷/₃ < x < 5
B. ‒³/₇ < x < 5
C. ‒5 < x < ³/₇
D. x < ‒5 atau x > ³/₇
E. x < ‒³/₇ atau x > 5

Jawab: D

Interval fungsi naik dicapai saat turunan pertama fungsi f(x) lebih dari nol seperti yang terdapat pada teorema kemonotonan. Secara matematis, pertidaksamaan untuk fungsi naik adalah f'(x) > 0 atau f'(x) bernilai positif.

Mencari turunan fungsi f(x):
f(x) = ⁷/₃x³ ‒ 16x² ‒ 15x + 6
f'(x) = 3×⁷/₃x² ‒ 2×16x ‒ 15
f'(x) = 7x² ‒ 32x ‒ 15

Pemfaktoran fungsi f'(x) = 7x² ‒ 32x ‒ 15:
f'(x) = 7x² ‒ 32x ‒ 15
f'(x) = 7x² + 35x ‒ 3x ‒ 15
f'(x) = 7x(x + 5) ‒ 3(x + 5)
f'(x) = (7x ‒ 3)(x + 5)

Harga nol: (7x ‒ 3)(x + 5) = 0
7x ‒ 3 = 0 ⇒ x = ³/₇
x + 5 = 0 ⇒ x = ‒5

Diperoleh dua titik yang menjadi batas interval fungsi naik yaitu x = ³/₇ dan x = ‒5. Nilai-nilai yang dihasilkan f(x) di sekitar dua titik dapat diketahui dengan cara substisusi sampel nilai x pada suatu selang tertentu.

Sebagai contoh, ambil nilai x = 0 yang berada di anatar nilai x = ³/₇ dan x = ‒5. Substitusi nilai x = 0 ke persamaan f'(x) = 7x² ‒ 32x ‒ 15 akan menghasilkan nilai negatif. Sehingga daerah di antara nilai x = ³/₇ dan x = ‒5 bernilai negatif.

Selanjutnya dapat diketahui bahwa hasil nilai f'(x) di kanan x = ³/₇ adalah positif. Begitu juga dengan hasil nilai f'(x) di kiri x = ‒5 juga positif.

Gambaran daerah penyelesaian yang memenuhi terlihat seperti berikut ini.

Fungsi f(x) akan naik pada interval kiri nilai x = ‒5 dan kanan nilai x = ³/₇, Jadi, fungsi f(x) akan naik pada interval x < ‒5 atau x > ³/₇.