Jika untuk semua bilangan real x < 7 sehingga xlog (x^2+x-12/x^2+x+12) terdefinisi adalah a < x < b maka

Jika untuk semua bilangan real x < 7 sehingga

adalah a < x < b maka b − a adalah ….
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Jawab: C

Sebuah fungsi logaritma terdefinisi saat f(x) > 0:

log f(x) terdefinisi → f(x) > 0

Saat fungsi memenuhi pertidaksamaan,

Fungsi pembilang f(x) adalah x² + x − 12 dan fungsi penyebut f(x) adalah x² + x + 12.

Pemfaktoran untuk pembilang: x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3), sementara penyebut tidak dapat difaktorkan. Penyebut fungsi f(x) merupakan fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif (definit positif).

Persamaan kuadrat yang selalu bernilai positif (definit positif) memiliki a > 0 dan nilai diskriminan D = b² − 4ac < 0. Pada persamaan kuadrat x² + x + 12 memiliki nilai a < 1 dan D = 1² − 4×1×12 = −47 <0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan kuadrat x² + x + 12 definit positif.

Dari penyebut f(x) diperoleh dua nilai hasil pemfaktoran x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3) yaitu x = −4 dan x = 3. Sehingga dapat dibentuk garis bilangan dengan dua batas nilai x seperti berikut.

Selanjutnya, lakukan uji daerah mana yang bernilai positif dan mana yang bernilai negatif.

Caranya, ambil salah satu titik dari tiga daerah. Misalkan ambil titik x = 0 kemudian substitusikan nilai x ke fungsi f(x).

Substitusi x = 0 ke persamaan x² + x − 12 = 0² + 0 − 12 = −12, diperoleh nilai negatif.

Substitusi x = 0 ke persamaan x² + x + 12 = 0² + 0 + 12 = 12, diperoleh nilai positif.

Nilai pembilang fungsi f(x) negatif, sementara penyebut fungsi f(x) positif. Sehingga fungsi f(x) akan bernilai negatif untuk daerah yang memuat x = 0.

Karena persamaan