UTBK 2025/Penalaran Matematika
Kertas berpetak memiliki ukuran 8 × 8 petak. Pada baris pertama, petak pertama, yaitu paling kiri ditulis dengan 1, petak kedua bilangan 2, petak ketiga bilangan 4, petak keempat bilangan 8, demikian seterusnya sampai petak kedelapan ditulis dengan 128. Pola baris kedua mengikuti pola baris pertama yang dimulai dengan bilangan 256 dan seterusnya sampai baris ke-8.

Soal 1

Jika K_n menyatakan bilangan pada petak pertama baris ke-n, K_n = …..
(A) 2^{n – 1}, n = 1, 2, …, 8
(B) 2^{8n – 1}, n = 1, 2, …, 8
(C) 2n – 1, n = 1, 2, …, 8
(D) 2^{8n – 8}, n = 1, 2, …, 8
(E) 2n² – 3n + 2, n = 1, 2, …, 8

Pembahasan:
Pola bilangan pada baris pertama adalah 1, 2, 4, 8, …, 128 yang sesuai dengan pola 2⁰, 2¹, 2², …, 2⁷. Untuk pola bilangan pada baris kedua membentuk pola 2⁸, 2⁹, 2¹⁰, …, 2¹⁵. Berikutnya pola bilangan pada baris ketiga memiliki pola 2¹⁶, 2¹, 2², …, 2²³.

Pola bilangan pada petak pertama setiap baris: 2⁰, 2⁸, 2¹⁶, …, 2⁵⁶. Bilangan pangkat memiliki pola 0, 8, 16, 24, …, 56. Pola bilangan membentuk barisann aritmatika yang memiliki suku pertama a = 0 dan beda b = 8.

Rumus ke-n dari pola bilangan dapat dicari menggunakan rumu Un = a + (n – 1)b.

Sehingga,

Un = 0 + (n – 1)8

Un = 8n – 8

Pola bilangan pangkatnya memiliki rumus 8n – 8. Jadi, bilangan pada petak pertama baris ke-n adalah K_n = 2^{8n – 8}, n = 1, 2, …, 8.

Jawab: (D)

Soal 2

Pilihlah jawaban pada kolom di sebelah kanan pernyataan yang sesuai dengan jawaban.

Pembahasan:
Akan diselidiki kebenaran dari pernyataan (i), (ii), dan (iii).

Pernyataan (i): Bilangan pada petak ke-3 baris ke-2 adalah 512
Penyelidikan:
Bilangan pertama pada baris ke-2 adalah 2^{8×2 – 8} = 2^{16 – 8} = 2⁸, sehingga bilangan pada petak ke-3 baris ke-2 adalah 2¹⁰ = 1.024 → Pernyataan (i) Tidak

Pernyataan (ii): Jumlah bilangan pada petak pertama sampai ke-5 baris pertama adalah 31.
Penyelidikan:
Pola bilangan pada baris pertama 1, 2, 4, 8, …, 128 memiliki rumus suku ke-n: Un = 2^{n – 1}. Maka bilangan pada petak ke-5 adalah U₅ = 2^{5 – 1} = 2⁴ = 16. Jumlah bilangan baris pertama untuk petak pertama sampai petak ke-5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 → Pernyataan (i) Ya

Pernyataan (iii): Bilangan pada baris ke-8 petak ke-8 adalah 2⁶⁴
Penyelidikan:
Bilangan pertama pada baris ke-8 adalah 2^{8×8 – 8} = 2^{64 – 8} = 2⁵⁶, sehingga bilangan pada petak ke-8 baris ke-8 adalah 2^{56 + 7} = 2⁶³ → Pernyataan (iii) Tidak

Soal 3

Hasil bagi bilangan pada petak pertama baris ketiga dengan bilangan pada petak kelima baris kedua adalah ….
(A) 4
(B) 8
(C) 16
(D) 32
(E) 64

Pembahasan:
Bilangan pertama pada baris ketiga = 2^{8×3 – 8} = 2^{24 – 8} = 2¹⁶. Sementara bilangan pada petak kelima baris kedua = 2^{(8×2 – 8) + 4} = 2^{8 + 4} = 2¹².

Jadi, hasil bagi bilangan pada petak pertama baris ketiga dengan bilangan pada petak kelima baris kedua = 2¹⁶ : 2¹² = 2^{16 – 12} = 2⁴ = 16.

Jawab: (C)

Soal 4

Jika bilangan pada petak ke-n baris pertama dibagi dengan 2^{2n – 2}, n = 1, 2, 3, …, 8, jumlah bilangan pada baris pertama adalah ….

Pembahasan:
Pola bilangan pada baris pertama adalah 1, 2, 4, 8, …, 128 = 2⁰, 2¹, 2², 2³, …, 2⁷ dan pembaginya merupakan bilangan yang memiliki pola 2⁰, 2², 2⁴, 2⁶, …, 2¹⁴.

Hasil bagi bilangan pada baris pertama memiliki pola: 1, ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, …, ¹/₁₂₈. Pola bilangan hasil bagi ini membentuk barisan geometri dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = ¹/₂.

Jumlah hasil bagi bilangan dapat dicari menggunakan rumus Sn deret geometri.

Jadi, jumlah bilangan pada baris pertama adalah ²⁵⁵/₁₂₈

Jawab: (B)