Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ 3x ‒ 5 = 0 adalah . . .
A. x2 ‒ 5x ‒ 7 = 0
B. x2 ‒ x ‒ 1 = 0
C. x2 ‒ 5x ‒ 3 = 0
D. x2 ‒ x ‒ 7 = 0
E. x2 ‒ 5x ‒ 1 = 0
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat: x2 ‒ 3x ‒ 5 = 0, misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x1 dan x2. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ 3x ‒ 5 = 0 (a = 1, b = ‒3, c = ‒5) dapat diketahui dengan cara berikut.
- x1 + x2 = ‒b/a = ‒(‒3)/1 = ‒(‒3) = 3
- x1 · x2 = c/a = ‒5/1 = ‒5
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah α dan β. Diektahui bahwa persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ 3x ‒ 5 = 0. ehingga akar-akar persamaan kaudrat yang baru akan memenuhi persamaan α = x1 ‒ 1 dan β = x2 ‒ 1.
Untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang baru perlu untuk mengetahui nilai jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan kuadrat yang baru. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru dapat ditentukan dengan cara berikut.
- α + β = (x1 ‒ 1) + (x2 ‒ 1)
= x1 + x2 ‒ 2
= 3 ‒ 2 = 1 - α · β = (x1 ‒ 1)(x2 ‒ 1)
= x1x2 ‒ x1 ‒ x2 + 1
= x1x2 ‒ (x1 + x2) + 1
= ‒5 ‒ 3 + 1 = ‒7
Dari perhitungan diperoleh nilai jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah α + β = 1. Sedangkan hasil akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah α · β = ‒7. Bentuk umum persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah α dan β memenuhi persamaan x2 ‒ (α + β)x + αβ = 0.
Cara menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ 3x ‒ 5 = 0 dilakukan seperti penyelesaian berikut.
Persamaan kuadrat baru:
x2 ‒ (α + β)x + αβ = 0
x2 ‒ 1x + (‒7) = 0
x2 ‒ x ‒ 7 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 ‒ x ‒ 7 = 0.
Jawaban: D