Aplikasi Turunan: Mencari Luas Maksimum/Minimum Suatu Daerah

By | August 28, 2020

Turunan merupakan penyebutan dalam bahasa Indonesia untuk materi diferensial. Penyebutan turunan sesuai dengan namanya yang membuat turunan derajat fungsi suatu menjadi turun/berkurang. Turunan sebuah fungsi yang memiliki derajat 2 menjadi fungsi dengan derajat 1. Turunan sebuah fungsi yang memiliki derajat 3 menjadi fungsi dengan derajat 2. Berlaku secara umum, turunan sebuah fungsi yang memiliki derajat x menjadi fungsi dengan derajat x – 1.

Lambang turunan dinyatakan dengan tanda petik atas. Misalkan, simbol turunan pertama dari fungsi f(x) adalah f'(x). Penerapan materi turunan dapat digunakan untuk mencari persamaan garis singgung suatu kurva, menentukan interval naik, interval turun, titik belok, dan menentukan nilai maksimum/minimum.

Seperti yang disebutkan di atas, salah satu aplikasi turunan dapat digunakan untuk mencari luas maksimum/minimum suatu daerah. Apa hubungan nilai turunan dengan luas maksimum? Bagaimana cara mencari luas maksimum/minimum suatu daerah menggunakan turunan? Simak ulasan caranya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Pengertian Turunan Fungsi

Langkah – Langkah Mencari Luas Maksimum/Minimum Suatu Daerah

Terdapat sebuah teorema yang menyatakan jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di c dan f'(c) ada, maka f'(c) = 0. Teorema tersebut mengantarkan sebuah pernyataan tentang luas maksimum atau minimum yang dinyatakan melalui turunan pertamanya sama dengan nol.

Aplikasi Turunan: Mencari Luas Maksimum atau Minimum Suatu Daerah

Cara mencari luas maksimum/minumum suatu daerah pada aplikasi turunan diberikan seperti langkah – langkah bertikut.

  1. Membuat persamaan luas (L) dalam sebuah variabel
  2. Menentukan turunannya untuk fungsi L
  3. Membentuk persamaan turunan fungsi sama dengan nol
  4. Menentukan masing – masing nilai variabel
  5. Menghitung luas daerah

Perhatikan bagaimana cara menentukan luas maksimum pada masalah berikut.

Diketahui keliling sebuah segi empat sama dengan 60 cm. Berapakah luas maksimum segiempat tersebut?

Penyelesaian, Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah membuat persamaan fungsi L dalam sebuah variabel.

Misalkan segi empat tersebut memiliki sisi panjang (p) dan lebar (l) berturut – turut adalah x cm dan y cm.

Contoh Soal Aplikasi Turunan

Diketahui:

  • Keliling segi empat: K = 60 cm
  • Panjang segi empat: p = x cm
  • Lebar segi empat: l = y cm

Berdasarkan informasi diatas dapat diperoleh persamaan berikut.

K = 60
2(p + l) = 60
2(x + y) = 60
x + y = 30
x = 30 – y

Rumus luas segi empat sama dengan perkalian antara panjang dan lebar. Sehingga, persamaan luas segi empat dalam variabel y diberikan seperti berikut.

L = p × l
L = (30 – y) × y
L = 30y – y2

Nilai L pada persamaan di atas akan mencapai maksimal pada saat turunan pertamanya sama dengan nol. Langkah selanjutnya adalah membentuk persamaan turunan pertama L sama dengan nol.

L’ = 0
30 – 2y = 0
–2y = –30

Dari hasil akhir pada persamaan di atas dapat diperoleh nilai dari y, berikutnya nilai x juga dapat dicari.

Mencari nilai y:
–2y = –30
y = –30/–2
y = 15 cm → lebar

Mencari nilai x:
x = 30 – y
x = 30 – 15
x = 15 cm → panjang

Diketahui nilai panjang (p = 15 cm) dan lebar (l = 15 cm) saat segi empat memiliki luas maksimum. Langkah terakhir adalah mengetahui luas maksimum menggunakan rumus luas segi empat dengan nilai p dan l yang sudah diketahui.

L = p × l
L = 15 × 15
L = 225 cm2

Jadi, luas maksimum segi empat dengan keliling = 60 cm adalah 225 cm2.

Baca Juga: Aplikasi Integral – Mencari Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Contoh Soal dan Pembahasan

Pemahaman suatu materi dapat diukur melalui keberhasilan dalam mengerjakan soal. Begitu juga untuk materi aplikasi turunan untuk mencari luas maksimum dan minimum. Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk

Contoh 1 – Soal Aplikasi Turunan

Perhatikan gambar di bawah!

Soal Aplikasi Turunan Mencari Luas Maksimum

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah ….
A.  (2, 5)
B.  (2, 5/2)
C.  (2, 2/5)
D.  (5/2, 2)
E.  (2/5, 2)

Pembahasan:

Menentukan persamaan garis yang memotong sumbu-x di (4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 5):

5x + 4y = 5 . 4
5x + 4y = 20
4y = 20 − 5x
y = 5 − 5/4x

Persamaan luas daerah:

L = x × y
L = x(5 − 5/4x)
L = 5x − 5/4 x2

Luas akan maksimum jika turunannya saa dengan nol.

L’ = 0
5 − 5/2 x = 0
5/2 x = –5
x = −5 . −2/5
x = 2

Menentukan letak titik y agar diperoleh luas maksimum:

5x + 4y = 20
5(2) + 4y = 20
y = 5/2

Jadi diperoleh koordinat M = (2, 5/2) agar diperoleh luas daerah maksimum.

Pembahasan: B

Contoh 2 – Aplikasi Turunan untuk Mencari Luas Suatu Daerah

Contoh Soal Mencari Luas Maksimum atau Minimum Suatu Daerah dengan Aplikasi Turunan

Pembahasan:

Mencari persamaan garis AB:

2x + 5y = 10
5y = 10 – 2x
y = 10/52/5x
y = 2 – 2/5x

Luas daerah persegi panhang merupakan perkalian panjang (p) dan lebar ( ґ). Nilai panjang dan lebar daerah berturut – turut sama dengan x dan y = 2 – 2/5x.

L = p × l
L = x (2 – 2/5x)
L = 2x – 2/5x2

Turunan pertama L terhadap x: L’(x) = 2 – 4/5x

Luas maksimum akan dicapai saat turunan persamaan L sama dengan nol.

L’ = 0
2 – 2 × 2/5 x = 0
2 – 4/5x = 0
4/5 x = –2

Mencari nilai x:
4/5 x = –2
x = –2 × –5/4
x = 5/2

Mencari nilai y:
y = 2 – 2/5(5/2)
y = 2 – 1
y = 1

Menghitung luas maksimum:
L = x × y
L = 5/2 × 1 = 5/2

Jawaban: A

Baca Juga: Aplikasi Integral – Mencari Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva

Contoh 3 – Soal Aplikasi Turunan

Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat).

Soal Aplikasi Turunan

Luas maksimum kandang adalah ….
A.  360 m2
B.  400 m2
C.  420 m2
D.  450 m2
E.  480 m2

Pembahasan:

Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l. Perhatikan bahwa sisi kandang yang dipagari kawat teridiri dari empat sisi lebar dan sebuah sisi panjang. Sehingga, dapat dibentuk persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang seperti berikut.

p + 4l = 80
p = 80 – 4l

Persamaan luas kandang :
L = p × l
L = (80 – 4l)l
L = 80l – 4l2

Turunan pertama L terhadap l: L’ = 80 – 8l

Luas akan maksimum jika L’ = 0
80 – 8l = 0
80 = 8l
l = 80/8
l = 10 m (sisi lebar)

Menghitung luas maksimum kandang:

L(l) = 80x – 4l2
L = 80(10) – 4(10)2
L = 800 – 400
L = 400 m2

Jadi, luas kandang maksimumnya adalah 400 m2.

Jawaban : B

Demikianlah ulasan materi cara mencari luas maksimum atau minimum pada suatu daerah. Bahasan merupakan aplikasi turunan. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Integral

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.