Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)

Aturan pengisin tempat atau filling slot merupakan cara untuk menentukan banykanya susunan objek untuk menempati tempatnya. Bahasan mengenai aturan pengisian tempat merupakan bagian dari kaidah pencacahan yang dipelajari bersama dengan rumus permutasi dan rumus kombinasi.

Contoh permasalahan yang diselesaikan dengan aturan pengisian tempat adalah banyaknya bilangan ratusan ganjil yang dapat disusun dari beberapa bilangan. Contoh lain permasalahan yang dapat diselesaikan dengan aturan pengisian tempat adalah banyaknya paduan baju yang dapat dibentuk dari tiga buah kemeja dan dua buah skirt.

Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)

Banyak paduan baju yang dapat dibentuk oleh 3 kemeja dan 2 skirt adalah 6 pasangan. Keenam pasangan tersebut terdiri dari kemeja peach + skirt hitam, kemeja putih + skirt hitam, kemeja beige + skirt hitam, kemeja peach + skirt navy, kemeja putih + skirt navy, dan kemeja beige + skirt navy.

Untuk banyak objek yang jumlahnya tidak banyak, cukup mudah menentukan banyaknya susunan objek. Untuk banyak objek yang jumlahnya banyak, cara menentukan banyaknya susunan objek dapat lebih mudah menggunakan rumus aturan pengisian tempat. Bagaimana caranya? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Rumus Aturan Pengisian n Buah Tempat

Rumus aturan pengisian tempat adalah perkalian bilangan-bilangan yang menempati n tempat tersedia. Bilangan-bilangan yang menempati n tempat tersebut adalah nilai-nilai yang memenuhi suatu syarat tertentu.

Jika terdapat n buah tempat tersedia dengan:

  • p1 = banyak cara untuk mengisi tempat pertama
  • p2 = banyak cara untuk mengisi tempat kedua, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi

  • p3 = banyak cara untuk mengisi tempat ketiga, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi
  • . . .
  • pn = banyak cara untuk mengisi tempat ketiga, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi

Banyaknya cara untuk mengisi n buah tempat dapat diperoleh melalui persamaan berikut.

Rumus aturan pengisian tempat

Penggunaan rumus aturan pengisian tempat di atas terdpat pada cara penyelesaian soal di bawah.

Soal:
Berapa banyak bilangan yang terdiri atas empat angka berbeda dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6?

Contoh bilangan yang dapat disusun adalah 1.234, 3.125, 2.345, 1.345, dan lain sebagainya. Cara mendaftar semua bilangan yang mungkin akan memakan waktu yang sangat lama, sehingga sangat tidak dianjurkan.

Cara menentukan banyak bilangan yang terdiri dari empat angka berbeda dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 dapat menggunakan rumus aturan pengisian tempat. Bagaimana caranya terdapat pada penyelesaian di bawah.

Cara Menggunakan Rumus Aturan Pengisian Tempat

Pertama:
Sediakan empat buah kotak/tempat (slots) karena kita akan menyusun sebuah bilangan yang terdiri atas empat angka. Kotak tersebut mewakili slot atau posisi bilangan yang akan dibentuk.

Cara menggunakan rumus aturan pengisian tempat

Kedua:
Isikan angka-angka yang memenuhi syarat untuk mengisi kotak yang disediakan. Dimulai dari kotak pertama, kemudian ke kotak kedua, dan seterusnya sampai semua tempat tersisi.

SlotsCara mengisiBanyak angka
yang bisa menempati
Kotak IDapat diisi oleh semua angka-angka yang tersedia yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6Banyak angka = 6
Kotak IIDapat diisi semua angka dikurang satu karena satu angka telah digunakan pada kotak I6 – 1 = 5
Kotak IIIDapat diisi semua angka dikurang dua karena dua angka telah digunakan pada kotak I dan kotak II6 – 2 = 4
Kotak IVDapat diisi semua angka dikurang tiga karena tiga angka telah digunakan pada kotak I, II, dan III6 – 3 = 3

Hasil pengisian empat tempat yang tersedia dilakukan seperti cara berikut.

Ketiga:
Kalikan semua angka yang mengisi tempat yaitu banyaknya bilangan yang dapat dibentuk = 6 × 5 × 4 × 3 =  360 susunan.

Jadi, banyaknya bilangan dengan 4 digit yang dapat disusun oleh bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah 360 bilangan.

Baca Juga: Operasi Hitung dengan Notasi Faktorial (n!)

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan aturan pengisian tempat di atas. Setiap contoh soal aturan pengisin tempat yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan soal aturan pengisian tempat tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Aturan Pengisian Tempat

Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. Banyaknya bilangan dengan angka-angka berlainan yang lebih kecil dari 400 adalah …
A.   20
B.   35
C.   40
D.   80
E.   120

Pembahasan:
Bilangan terdiri dari tiga angka, sehingga sediakan tiga kotak yang perlu diisi oleh angka-angka sesuai syarat yang diberikan.

slot 1slot 2slot 3

Banyak angka yang tersedia untuk mengisi slot atau tempat adalah 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. Cara keenam angka tersebut mengisi slot mengikuti ketentuan berikut.

  • Angka yang dapat menempati slot 1 adalah 2 dan 3 karena bilangan yang disusun lebih kecil dari 400. Sehingga banyak angka yang dapat menempati slot 1 adalah p1 = 2.

  • Angka yang dapat menempati slot 2 adalah semua angka yang tersedia dikurangi satu karena disyaratkan bilangan terdiri dari angka berbeda, sementara satu angka telah digunakan pada slot 1. Sehingga banyak angka yang dapat menempati slot 1 adalah p2 = 6 – 1 = 5

  • Angka yang dapat menempati slot 3 adalah semua angka yang tersedia dikurangi satu karena disyaratkan bilangan terdiri dari angka berbeda, sementara dua angka telah digunakan pada slot 1 dan slot dua. Sehingga banyak angka yang dapat menempati slot 1 adalah p3 = 6 – 2 = 4

Banyak angka yang mengisi tiga tempat menjadi seperti berikut.

slot 1slot 2slot 3
254

Jadi, bilangan tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dengan nilai di bawah 400 adalah 2 × 5 × 4 = 40 bilangan.

Jawaban: C

Baca Juga: Perbadaan Permutasi dan Kombinasi

Contoh 2 – Aturan Pengisian Tempat

Dari angka-angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 akan disusun bilangan ganjil terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan ganjil yang dapat disusun adalah ….
A. 120
B. 90
C. 60
D. 36
E. 20

Pembahasan:
Susunan bilangan yang akan dicari terdiri dari tiga angka sehingga perlu untuk menentukan bagaimana cara angka-angka menempati tiga tempat berikut.

Cara angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 (ada enam angka) menempati tiga tempat mengikuti ketentuan berikut.

  • Kotak ketiga:
    Sebuah bilangan ganjil akan selalu memiliki satuan angka ganjil. Sehingga angka yang dapat menempati kotak ketiga hanya 5, 7, dan 9. Ada tiga bilangan yang dapat menempati kotak ketiga maka P3 = 3.
  • Kotak pertama:
    Kotak pertama dapat ditempati banyak angka yang tersedia dikurang satu karena satu angka telah digunakan pada kotak ketiga. Maka banyak angka yang dapat menempati kotak pertama adalah P1 = 6 – 1 = 5.
  • Kotak kedua:
    Kotak kedua dapat ditempati banyak angka yang tersedia dikurang dua karena dua angka telah digunakan pada kotak ketiga dan pertama. Maka banyak angka yang dapat menempati kotak kedua adalah P2 = 6 – 2 = 4

Sehingga banyak angka-angka menempati kotak mengikuti persamaan berikut.

kotak
I
kotak
II
kotak
III
543

Banyaknya bilangan ganjil terdiri dari tiga angka berbeda yang disusun dari angka-angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 sama dengan P1 × P2 × P3 = 5 × 4 × 3 = 60 bilangan. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat disusun adalah 60 bilangan.

Jawaban: C

Contoh 3 – Aturan Pengisian Tempat

Dari angka 2, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk bilangan ganjil yang terdiri dari 3 digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 500 adalah ….
A. 144
B. 72
C. 24
D. 20
E. 16

Pembahasan:
Cara menentukan banyak angka untuk soal ini dimulai dari banyak angka yang menempati kotak ketiga terlebih dahulu. Langkah ini dilakukan untuk membentuk bilangan ganjil terlebih dahulu.

Selanjutnya adalah menentukan banyak angka yang bisa menempati kotak pertama untuk memenuhi bilangan kurang dari 500. Terakhir adalah menentukan banyak angka yang dapat menempati kotak kedua.

Cara angka-angka menempati kotak:

  • P3 = 2 → hanya bisa diisi oleh angka 5 dan 9 karena bilangan yang akan disusun merupakan bilangan ganjil
  • P1 = 2 → hanya bisa ditempati bilangan 2 dan 4 karena bilangan kurang dari 500
  • P2 = 4 → semua angka tersedia (6) dikurang dua karena sudah ada dua angka yang digunakan pada kotak pertama dan ketiga, sementara bilangan yang dibentuk terdiri dari tiga bilangan berbeda.

Banyaknya bilangan ganjil dengan 3 digit berbeda yang dibentuk dari angka 2, 4, 5, 6, 8, 9 sama dengan P1 × P2 × P3 = 2 × 4 × 2 = 16 bilangan. Jadi, banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 500 adalah 16 bilangan.

Jawaban: E

Demikianlah tadi ulasan aturan pengisian tempat (filling slots). Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

11 thoughts on “Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)”

  1. contoh soal ketiga
    dikolo ketiga kenapa 4 ya? kan angka ganjil hanya 5 n 9

    1. Ada kesalahan, sudah diperbaiki ya… Terima kasih atas komentar dan kunjungannya. Sukses selalu!

      1. Stephanie

        Berapa banyak bilangan bulat ganjil 4 angka yang dapat dibuat dari angka 0,1,2,5,6,7,9 jika ada dua angka yang sama?

  2. Fitri Juliani

    Bagaminana kalau banyaknya bilangan Antara 1000 Dan 4000 Yang dapat dibuat dari angka 1,2,3,4,5,6 adalah

  3. Tersedia angka 5, 6, 7, 8, dan 9. Akan disusun bilangan yang terdiri dari 3 angka. Berapa banyak bilangan yang terbentuk jika diawali dengan angka 6 dan:
    a) angka boleh berulang
    b) angka tidak boleh berulang
    Kalau seperti ini bagaimana ya?

  4. Kita tidak bisa membuat segala sesuatunya berjalan dengan lancar, tetapi kita bisa membuat rencana yang baik! Makasih untuk informasi artikel yang menarik ini!

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.