Aturan Turunan (Teorema) Untuk Mempermudah Pencarian Turunan Suatu Fungsi

By | January 27, 2021

Simbol fungsi turunan pertama dari f(x) dinyatakan dalam f’(x) yang dibaca f aksen x. Turunan suatu fungsi f(x) dapat diperoleh melalui definisi turunan yang akan menghasilkan fungsi baru f ’ (x). Sayangnya, cara untuk mendapatkan turunan suatu fungsi dengan definisi turunan tidak praktis untuk dilakukan. Cara tersebut termuat dalam teorema atau aturan turunan yang akan mempermudan pencarian turunan suatu fungsi. Pencarian turunan fungsi dengan definisi turunan membutuhkan waktu yang lebih lama, terutama untuk fungsi yang rumit. Sehingga, aturan turunan akan sangat membantuk untuk mendapatkan turunan suatu fungsi.

Bagaimana sajakah aturan turunan untuk mempermudah pencarian suatu fungsi? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Pencarian Turunan Fungsi dengan Definisi

Operasi Turunan Fungsi

Sebelum ke bahasan aturan turunan, sebaiknya ingat kembali bagaimana definisi turunan. Keluaran fungsi turunan berupa f’(x) merupakan fungsi baru yang berbeda dari f(x) setelah mengalami operasi sesuai definisi turunan. Persamaa dalam definisi turunan merupakan nilai limit dari hasil bagi selisih untuk suatu nilai. Berikut ini akan ditunjukkan bagaimana hasil turunan suatu fungsi yang dapat diperoleh melalui definisi turunan.

Pertama, akan dicari nilai turunan fungsi f(x) = 3x – 5 menggunakan definisi turunan.

Diketahui:

  • f(x) = 3x + 5
  • f(x+h) = 3(x+h) + 5

Mencari turunan pertama f(x) = 3x – 5 dengan definisi turunan:

Cara Mencari Turunan Fungsi Melalui Definisi Turunan

Jadi, fungsi turunan pertama dari f(x) = 3x – 5 adalah f’(x) = 3.

Tentu saja cara mencari turunan suatu fungsi seperti cara di atas akan sangat merepotkan dan memakan banyak waktu. Sehingga perlu cara lain agar dapat memperoleh turunan suatu fungsi dengan lebih cepat dan praktis. Cara tersebut termuat dalam aturan turunan yang dapat digunakan untuk mendapatkan turunan suatu fungsi dengan lebih mudah.

Baca Juga: Pengertian Turunan

Teorema dalam Aturan Turunan

Aturan turunan yang tersedia meliputi aturan konstanta, fungsi identitas, aturan pangkat, dan kelipatan konstanta. Selain itu terdapat juga aturan turuan yang memuat aturan jumlah, selisih, hasil kali dua fungsi, hasil bagi fungsi, dan aturan rantai. Semua aturan tersebut dapat dibuktikan kebenarannya melalui definsi turunan. Sehingga penggunaan aturan tersebut akan menhasilkan hasil yang sama dengan hasil pencarian turunan melalui definisi.

Rumus-rumus dalam aturan turunan diperoleh dengan mengambil persamaan umum. Hasil yang diperoleh kemudian dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang lebih khusus.

Sebagi contoh pada aturan konstanta: Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta maka f’(x) = 0.

Turunan dari f(x) = k (k adalah konstanta):

f(x) = k
f’(x) = limh→0 k – k/h
= limh→0 0/h
= limh→0 0
f’(x) = 0

Dari hasil di atas dapat disimpulkan bahwa turunan fungsi untuk semua konstanta adalah nol. Selanjutnya, sobat idschool dapat menggunakan aturan konstanta tersebut untuk mendapatkan turunan dari suatu konstanta.

Contoh:

  • f(x) = 5 → f’(x) = 0
  • g(x) = 125 → g’(x) = 0
  • p(t) = –2 → p’(t) = 0

Berikutnya, pada fungsi identitas: Jika f(x) = x dengan n bilangan bulat positif maka f’(x) = 1.

Diketahui:

  • f(x) = x
  • f(x + h) = x + h

Mencari turunan pertama f(x) = x dengan definisi turunan:

Bukti Aturan Fungsi Identitas pada Turunan

Dua pemisalan di atas merupakan beberapa contoh cara mendapatkan rumus umum dalam aturan turunan. Rumus-rumus umum dalam aturan pencarian turunan akan sangat membantu untuk menemukan turunan suatu fungsi yang cukup rumit. Daftar rumus aturan turunan lainnya dapat dilihat seperti tabel berikut.

Aturan Turunan

Aturan dalam pencarian turunan tersebut dapat dibuktikan melalui definisi turunan. Selanjutnya, sobat idschool hanya perlu menggunakan aturan-aturan tersebut untuk mencari turunan suatu fungsi. Cara pencarian turunan tentu akan lebih mudah dan cepat dibanding menggunakan definisi turunan secara langsung.

Baca Juga: Turunan Fungsi Trigonometri

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal beserta pembahasannya di bawah akan menunjukkan bagaimana penerapan aturan turunan untuk mencari turunan suatu fungsi. Sobat idschool dapat mengasah kemampuan dalam mencari turunan suatu fungsi melalui beberapa contoh soal dan pembahasannya di bawah.

Contoh 1 – Soal Mencari Turunan Suatu Fungsi

Turunan pertama dari fungsi f(x) = sin23x adalah ….
A. 2 sin 3x
B. sin 6x
C. 2 cos 3x
D. 3 sin 6x
E. –3 sin 6x

Pembahasan:

Misalkan:

  • u = sin 3x → Dx(u) = 3 cos 3x
  • f(x) = u2 → Du(f(x)) = 2u

Mencari turunan pertama dari fungsi f(x) dengan aturan turunan – aturan rantai:

Dx[f(x)] = Du[f(x)] · Dx[u]

f(x) = sin23x
f'(x) = Dx[f(x)]
Dx[f(x)] = 3 cos 3x · 2u
Dx[f(x)]= 3 cos 3x · 2 sin 3x
= 3 (2 · sin 3x · cos 3x)
= 3 sin 6x

Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = sin23x adalah f'(x) = 3 sin 6x.

Jawaban: D

Contoh 2 – Penggunaan Aturan Turunan untuk Menyelesaikan Soal Turunan

Jika f’(x) adalah turunan dari f(x) maka turunan dari f(ax + b) adalah ….
A. f’(ax + b)
B. a · f’(ax) + b
C. a · f’(x)
D. a · f’(ax + b)
E. a · f’(x) + b

Pembahasan:

Misalkan

  • g(x) = ax + b
  • Dxg(x) = a

Dengan aturan turunan – aturan rantai akan dicari turunan pertama dari dari f(ax + b).

f’(ax + b) = f’(g(x))
f’(ax + b) = Dx[f(ax + b)] · Dx(g(x))
= f’(ax + b) · a
= a · f’(ax + b)

Jadi, jika f’(x) adalah turunan dari f(x) maka turunan dari f(ax + b) adalah a · f’(ax + b).

Jawaban: D

Demikianlah tadi ulasan teorema atau aturan turunan untuk mempermudah cara mencari turunan suatu fungsi. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Aplikasi Turunan – Mencari Luas Maksimum/Minimum

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.