Cara menentukan garis singgung lingkaran dapat dilakukan berdasarkan informasi apa yang diketahui. Secara umum, ada dua bentuk rumus persamaan garis singgung lingkaran. Pertama adalah rumus garis singgung lingkaran yang digunakan jika diketahui titik yang dilalui oleh garis singgung. Kedua adalah rumus garis singgung lingkaran jika diketahui gradien garis singgung lingkaran.
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Garis singgung lingkaran akan tergak lurus dengan jari-jari atau diamater lingkaran tersebut.
Baca Juga: Cara Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen
Persamaan garis singgung ditentukan berdasarkan informasi apa yang diberikan pada soal. Bagaimana cara menentukan garis singgung lingkaran? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan bagaimana cara menentukan garis singgung lingkaran di bawah.
Table of Contents
Persamaan Lingkaran
Setiap lingkaran memiliki titik pusat dan jari-jari yang panjangnya beragam. Sebuah lingkaran memiliki persamaan kuadrat dua variabel. Bentuk persamaan lingkaran dipengaruhi oleh letak titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran.
Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat di O(0, 0) dengan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2. Misalnya, terdapat sebuah lingkaran yang memiliki pusat lingkatan di titik O(0, 0) dengan panjang jari-jari 3 satuan. Persamaan lingkaran yang sesuai untuk lingkaran tersebut adalah x2 + y2 = 9.
Untuk persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat di P(a, b) dengan jari-jari r adalah (x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 = r2. Sebagai contoh, sebuah lingkaran dengan pusat (‒3, 1) dan jari-jari 4 memiliki persamaan (x + 3)2 + (y ‒ 1)2 = 16.
Atau persamaan lingkaran juga dapat dinyatakan dalam bentuk umum x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0. Persamaan lingkaran (x + 3)2 + (y ‒ 1)2 = 16 ekuivalen dengan bentuk x2 + 6x + y2 ‒ 2y ‒ 6 = 0.
Secara umum, tiga bentuk persamaan lingkaran sesuai dengan rumus-rumus pada tabel di bawah.
Baca Juga: Rumus Transformasi Geometeri [Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi]
Sobat idschool perlu mengetahui tiga bentuk persamaan lingkaran di atas untuk menyelesaikan cara menentukan garis singgung lingkaran. Tiga bentuk lingkaran di atas memiliki rumus dan cara menentukan garis singgung lingkaran yang berbeda seperti yang terdapat pada pembahasan selanjutnya di bawah.
Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran dibedakan menjadi dua bentuk. Bentuk pertama adalah persamaan garis singgung lingkaran yang digunakan saat diketahui sebuah titik yang dilalui garis. Bentuk kedua adalah persamaan garis singgung lingkaran yang digunakan saat diketahui gradien garis singgung lingkaran.
Secara ringkas, rumus yang digunakan pada cara menentukan garis singgung lingkaran untuk beberapa kondisi sesuai dengan tabel berikut.
Baca Juga: Cara Hitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasan bagaimana cara menentukan garis singgung lingkaran. Sobat idshcool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1 – Soal dan Cara Menentukan Garis Singgung Lingkaran
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 ‒ 2x + 6y ‒ 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x ‒ y + 4 = 0 adalah ….
A. 2x ‒ y = 14
B. 2x ‒ y + 4 = 0
C. 2x ‒ y + 4 = 0
D. 2x ‒ y + 4 = 0
E. 2x ‒ y + 4 = 0
Pembahasan:
Dari soal dapat disimpulkan bahwa gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis 2x ‒ y + 4 = 0 karena kedua garis saling sejajar. Cara menentukan garis singgung lingkaran dengan gradien garis m dapat diperoleh melalui lima langkah seperti penyelesaian berikut.
- Menentukan gradien garis 2x ‒ y + 4 = 0: m1 = 2
- Gradien garis singgung lingkaran sejajar 2garis x ‒ y + 4 = 0, sehingga gradien garis garis singgung lingkaran sama dengan m2 = m1 = 2
- Menentukan pusat lingkaran: x2 + y2 ‒ 2x + 6y ‒ 10 = 0
a = ½(‒2) = ‒1
b = ½(6) = 3
P(a, b) = P(‒1, 3)
- Menentukan jari-jari lingkaran:
r2 = ¼(‒2)2 + ¼(6)2 ‒ (‒10)
r2 = 1 + 9 + 10 = 20
r = √20
- Persamaan garis singgung lingkaran:
y ‒ (‒3) = 2(x ‒ 1) ± √20√(1 + 22)
y + 3 = 2x ‒ 2 ± √20√5
y = 2x ‒ 2 ‒ 3 ± √100
y = 2x ‒ 5 ± 10
Diperoleh dua persamaan garis singgung lingkaran yaitu y = 2x ‒ 5 + 10 → 2x ‒ y = ‒5 atau y = 2x ‒ 5 ‒ 10 → 2x ‒ y = 15.
Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 ‒ 2x + 6y ‒ 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x ‒ y + 4 = 0 adalah 2x ‒ y = ‒5.
Jawaban: D
Contoh 2 – Soal dan Cara Menentukan Garis Singgung Lingkaran
Pembahasan:
Diketahui bahwa garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis 3y ‒ x = 1. Dua buah garis yang saling tegak lurus memiliki gradien yang memenuhi persamaan m1 · m2 = ‒1.
Menentukan gradien garis 3y ‒ x = 1:
3y = x + 1
y = 1/3x + 1/3 → m = 1/3
Gradien garis singgung lingkaran (m2):
1/3 · m2 = ‒1
m2 = ‒1 : 1/3
m2 = ‒1 × 3/1 = ‒1
Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 + 4x ‒ 6y + 4 = 0, sehingga pusat dan jari-jari lingkaran diketahui.
- Pusat lingkaran x2 + y2 + 4x ‒ 6y + 4 = 0: P(a, b)
a = ‒½(4) = ‒2
b = ‒½(‒6) = 3
Pusat lingkaran: P(a, b) → P(‒2, 3)
- Jari-jari lingkaran:
r2 = ¼(4)2 + ¼(‒6)2 ‒ 4
r2 = 4 + 9 ‒ 4 = 9
r = √9 = 3
Cara menentukan garis singgung lingkaran:
y ‒ b = m(x ‒ a) ± r√(1+m2)
y ‒ 3 = ‒3(x ‒ (‒2)) ± 3√(1+32)
y ‒ 3 = ‒3(x + 2) ± 3√10
y ‒ 3 = ‒3x ‒ 6 ± 3√10
y = ‒3x ‒ 6 + 3 ± 3√10
y = ‒3x ‒ 3 ± 3√10
Diperoleh dua persamaan garis singgung lingkaran yaitu y = ‒3x ‒ 3 + 3√10 dan y = ‒3x ‒ 3 ‒ 3√10. Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 4x ‒ 6y + 4 = 0 dan tegak lurus garis 3y ‒ x = 1 adalah y = ‒3x ‒ 3 ± 3√10.
Jawaban: A
Demikianlah tadi ulasan bagaimana cara menentukan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
Baca Juga: Irisan Kerucut