Cara Menentukan Determinan Matriks, Invers, dan Sifat-sifatnya

Bahasan dalam matriks memuat bagaimana cara menghitung invers matriks dan determinan matriks. Selain itu, pada invers dan determinan matriks memenuhi sifat-sifat yang dipenuhi, juga ada sifat yang tidak dipenuhi. Penguasaan bahasan determinan matriks, invers matriks, dan sifat-sifatnya akan berguna untuk mempelajari penggunaan atau aplikasi matriks pada tingkat lebih lanjut. Sebelumnya, sebaiknya sobat idschool sudah menguasai bagaimana cara mengoperasikan dua matriks atau lebih.

Cara menentukan determinan matriks dilakukan pada matriks persegi, yaitu matriks dengan banyak kolom sama dengan banyak baris. Invers matriks merupakan matriks kebalikan sehingga perkalian suatu matriks dengan inversnya akan menghasilkan matriks identitas. Matriks identitas atau matrik satuan adalah matriks persegi yang memiliki nilai elemen-elemen pada diagonal diagonal utama sama dengan 1, selain itu nilai elemen-elemennya adalah 0.

Baca Juga: Perkalian Matriks 3 x 3, Matriks 2 x 2, dan Matriks m x n

Bagaimana cara menentukan determinan matriks? Bagaimana cara menentukan invers matriks? Sifat-sifat apa saja yang berlaku pada determinan dan invers matriks? Sobat idschool dapat mencari tahu lebih lanjut melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Determinan Matriks

Pada Aljabar, determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau | A |. Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Cara menghitung nilai determinan dengan ordo 3 akan berbeda dengan cara menghitung matriks bujur sangkar dengan ordo 2. Untuk lebih jelasnya, perhatikan cara menghitung determinan di bawah.

Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Seperti yang sobat idschool sudah ketahui, matriks ordo 2 dinyatakan dalam bentuk matriks dengan jumlah kolom dan baris sama dengan dua. Nilai determinan A disimbolkan dengan | A |, cara menghitung nilai determinan A dapat dilihat seperti pada cara di bawah.

 
Soal: Tentukan nilai determinan matriks berikut.

Pembahasan:

determinan matriks A:
| A | = ad – bc
= 3 × 5 – 1 × 2
= 15 – 2
= 13

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Matriks Ordo 3 adalah matriks persegi dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Misalnya pada matriks A, elemen-elemen pada baris pertama adalah a b c, baris kedua adalah d e f, dan baris ketiga adalah g h i. Cara menghitung determinan pada matriks dengan ordo tiga biasa disebut dengan Aturan Sarrus seperti terlihat pada gambar di bawah.

 
Contoh perhitungan determinan pada matriks ordo 3:

Maka determinan matriks A adalah,

Baca Juga: Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL)

Invers Matriks

Simbol matriks dinyatakan dengan tanda pangkat negatif 1 (–1). Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar A dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar A–1 maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks). Cara mencari invers matriks untuk ordo 2 x 2 dan invers matriks ordo 3 x 3 diberikan seperti berikut.

Invers Matriks Ordo 2 x 2

Invers dari suatu matriks A dengan ukuran 2 x 2, elemen pada baris pertama adalah a, b dan elemen pada baris kedua adalah c, d dinyatakan dalam rumus di bawah.

Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.

Diketahui matriks A:

Tentukan invers dari matrik A!

Penyelesaian:

Baca Juga: Pengertian dan Jenis-jenis Matriks

Invers Matriks Ordo 3 x 3

Cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan invers matriks 2 x 2. Sebelum menentukan invers matriks ordo 3 x 3, perlu dipahami terlebih dahulu mengenai matriks minor, kofaktor, dan adjoin. Simak penjelasannya pada uraian di bawah.

Diketahui sebuah matriks A dengan ordo 3 seperti terlihat di bawah.

Matriks Minor:
Matriks minor Mij adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks minor berordo 2 seperti persamaan di bawah.

Matriks-matriks minor di atas digunakan untuk mendapatkan matriks kofaktor A.

Kofaktor:
Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan dengan Cij dapat ditentukan dengan rumus seperti terlihat di bawah.

Kofaktor di atas akan digunakan untuk menentukan adjoin matriks yang akan dicari nilai inversnya.

Adjoin:
Secara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin seperti ditunjukkan seperti pada matriks di bawah. (Keterangan: Cij adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j).

Sehingga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.

Cara Menentukan Invers Matriks Ordo 3 x 3:
Bagian terakhir, bagian ini merupakan akhir dari proses mencari invers matriks dengan orde 3 atau lebih. Matriks minor, kofaktor, dan adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3 atau lebih.

Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh melalui persamaan:

A–1 = 1/det(A) · Adj(A)

Agar lebih jelas, akan diberikan contoh soal cara mencari invers matriks berodo 3. Simak langkah-langkah yang diberikan di bawah.

Contoh soal menentukan invers matriks berordo 3 x 3

Tentukan invers matriks B yang diberikan pada persamaan di bawah.

Pembahasan:

Menghitung nilai determinan B:
| B | = 1×3×2 + 2×1×2 + 1×3×1 – 2×3×1 – 1×1×1 – 2×3×2
| B | = 6 + 4 + 3 – 6 – 1 – 12
| B | = -6

Menentukan Kofaktor:
Berikut ini adalah hasil perhitungan nilai-nilai kofaktor untuk matriks B. Silahkan lihat kembali bagaimana cara mendapatkan nilai kofaktor pada rumus yang telah dibahas di atas jika belum hafal rumusnya.

Untuk menentukan invers B, kita membutuhkan matriks adjoin B. Sehingga, kita perlu menentukan matriks adjoin B terlebih dahulu.

Menentukan Adjoin B:
Adjoin dari matriks B, sesuai dengan persamaan di atas akan diperoleh hasil seperti berikut.

 
Menentukan Invers Matriks B:

Baca Juga: Menyelesaikan Masalah Komposisi Transformasi Geometri dengan Matriks

Sifat-Sifat Matriks

Tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang memiliki invers dinamakan matriks nonsingular atau matriks invertible. Sedangkan matriks yang tidak memiliki invers dinamakan matriks singular. Kriteria matriks yang memiliki invers dapat dilihat pada gambar di bawah.

Sekian materi mengenai cara menentukan determinan matriks, invers matriks, sifat-sifat determinan matriks, dan sifat-sifat invers matriks. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Matriks

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.