Cara Menghitung Biaya Produksi Minimum atau Nilai Maksimum

By | December 9, 2020

Biaya produksi minimum atau keuntungan maksimum dari sebuah usaha yang dinyatakan dalam sebuah fungsi dapat dicari melalui turunan pertama fungsi. Permasalahan biaya minimum atau keuntungan maksimum merupakan aplikasi dari fungsi turunan. Masalah meminimumkan atau memaksimalkan cukup banyak bermanfaat dalam kegiatan produksi sehari-hari. Contoh masalah meminimumkan terdapat pada bagaimana cara meminimalkan biaya produksi dari suatu usaha. Atau pada kasus bagaimana menghitung banyak hari yang diperlukan agar suatu proyek mendapatkan keuntungan yang maksimum.

Bagaimana cara menghitung biaya produksi minimum atau keuntungan maksimum? Sobat idschool dapat mencari tahu lebih lanjut melalui ulasan di bawah.

Nilai Maksimum/Minimum

Nilai maksimum suatu fungsi f pada suatu himpunan S adalah nilai f terbesar yang dapat dicapai pada keseluruhan himpunan S. Sedangkan nilai minimum suatu fungsi f pada himpunan S adalah nilai f terkecil yang dapat dicapai pada keseluruhan himpunan S.

Cara Menghitung BIaya Produksi Minimum dan Nilai Maksimum

Definsi nilai maksimum dan minimum: Misalkan S adalah daerah asal f dan S memuat titik c, sehingga

  1. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x), untuk setiap x Є S, sedangkan f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤ f(x), untuk setiap x Є S
  2. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum
  3. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi objektif

Bahasan keberadaan nilai maksimum dan minimum termuat dalam teorema keberadan maksimum-minimum.

Teorema Titik Keberadaan Maksimum-Minimum:

Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b] maka f mencapai f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di selang tertutup [a, b]

Berdasarkan teorema tersebut maka f mempunyai nilai maksimum dan minimum dengan syarat f berupa fungsi kontinu dan himpunan S disyaratkan berupa selang tertutup. Kemungkinan tempat letak titik ekstrim (nilai maksimum dan minimum) yaitu dapat terjadi seperti tiga gambar berikut.

Titik Ekstrim (Nilai Maksimum dan Minimum)

Jika c sebuah titik tempat maka kemungkinan tempat terjadinya nilai ekstrim c merupakan salah satu dari titik-titik berikut.

  1. ujung interval
  2. stasioner dari f → f’(c) = 0
  3. singuler dari f → f’(c) tidak ada

Ketiga jenis titik tersebut (ujung interval, stasioner, dan singular) merupakan titik-titik kunci dari teori maksimum-minimum. Cara mendapatkan nilai maksimum atau minimum diperoleh dari substitusi nilai titik-titik tersebut pada fungsi f.

Cara Mendapatkan Nilai Maksimum dan Minimum

Sebagai contoh, perhatikan bagaimana cara menghitung nilai maksimum dan minimum suatu fungsi f berikut.

Soal: Berapakan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = –2x3 + 3x2 pada [–1/2, 2]?

Mencari turunan pertama dari fungsi f(x):
f’(x) = –6x2 + 6x

Menentukan titik kritis:
f’(x) = 0
–6x2 + 6x = 0
6x(1 – x) = 0
6x = 0 atau 1 – x = 0, diperoleh hasil x = 0 atau x = 1

Diketahui titik ujung interval adalah –1/2 dan 2, sehingga diperoleh empat titik kritis { –1/2, 0, 1, 2}.

Dari empat titik kritis yang dipeorleh akan digunakan untuk mencari nilai maksimum dan minimum.

  • x = –1/2
    f(x) = –2x3 + 3x2
    f( –1/2) = –2( –1/2)3 + 3( –1/2)2
    = –2( –1/8) + 3(1/4)
    = 1/4 + 3/4
    f( –1/2) =1   
  • x = 0
    f(x) = –2x3 + 3x2
    f(0) = –2(0)3 + 3(0)2 = 0
  • x = 1
    f(x) = –2x3 + 3x2
    f(1) = –2( 1)3 + 3(1)2
    = –2(1) + 3(1)
    = –2 + 3 = 1
  • x = 2
    f(x) = –2x3 + 3x2
    f(2) = –2( 2)3 + 3(2)2
    = –2(8) + 3(4)
    = –16 +14
    f(2) = –4

Berdasarkan perhitungan di atas dapat diperoleh nilai maksimum fungsi f pada [–1/2, 2] adalah 1 dan nilai minimumnya adalah –4.

Baca Juga: Aplikasi Turunan untuk Menghitung Luas Maksimum Suatu Daerah

Selanjutnya, aplikasi dari bahasan turunan di atas dapat digunakan pada cara menghitung biaya minimum produksi atau keuntungan maksimum.

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal cara menghitung biaya produksi minimum di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk mengukur pemahaman materi. Keberhasilan mengerjakan soal dengan benar merupakan salah satu tanda bahwa sobat idschool sudah memahami materi. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasan, sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Menghitung Biaya Produksi Minimum

Contoh Soal Biaya Produksi Minimum

Pembahasan:

Misalkan f(x) adalah fungsi biaya produksi yang dikeluarkan dengan x merupakan banyaknya hari, maka biaya yang dikeluarkan selama x hari adalah sebagai berikut.

Cara Menghitung Biaya Produksi Minimum

Fungsi biaya yang dikeluarkan B(x) = 2x2 – 60x + 500 akan minimal saat turunan pertamanya sama dengan nol. Selanjutnya, mencari nilai x saat biaya produksi yang dikeluarkan minimum.

B(x) = 2x2 – 60x + 500
B’(x) = 4x – 60
4x – 60 = 0
4x = 60
x = 60/4 = 15 hari

Hasil dari perhitungan di atas mememiliki pengertian bahwa biaya produksi akan minimum saat 15 hari.

Menghitung biaya produksi minimum (x = 15):
B(x) = 2x2 – 60x + 500
B(15) = 2(15)2 – 60(15) + 500
= 2 · 225 – 60 · 15 + 500
= 450 – 900 + 500 = 50 juta rupiah

Jadi, biaya minimum produksi sepatu tersebut adalah Rp50.000.000,00.

Jawaban: A

Contoh 2 – Soal Menghitung Banyak Hari agar Biaya Produksi Minimum

Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari (3x – 720 + 120.000/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, maka proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu ….
A. 60 hari
B. 90 hari
C. 120 hari
D. 150 hari
E. 200 hari

Pembahasan:

Menentukan fungsi biaya B(x) yang dikeluarkan selama x hari pada proyek pembangunan gedung sekolah tersebut:

B(x) = x(3x – 720 + 120.000/x)
B(x) = 3x2 – 720x + 120.000

Fungsi biaya B(x) akan maksimum saat turunan pertamanya sama dengan nol. Waktu pengerjaan proyek (x) tersebut dapat ditentukan melalui persamaan turnanan yang diperoleh.

B(x) = 3x2 – 720x + 120.000
B’(x) = 6x – 720
0 = 6x – 720
6x = 720
x = 720/6 = 120 hari

Jadi, agar biaya proyek minimum, maka proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 120 hari.

Jawaban: C

Contoh 3 – Soal Nilai Maksimum

Selembar seng berbentuk persegi panjang akan dibuat talang air. Agar membentuk talang, kedua tepi seng dilipat sebesar x seperti gambar di bawah.

Soal Nilai Maksimum

Jika lebar seng adalah 80 cm maka tinggi lipatan talang (x) agar luas penampang talang maksimum adalah ….
A. 20 cm
B. 18 cm
C. 15 cm
D. 10 cm
E. 9 cm

Pembahasan:

Diketahui bahwa lebar seng adalah 80 cm, karena kedua tepinya dilipat sebesar x maka lebar penampang seng menjadi 80 – 2x.

Luas penampang talang L(x) adalah luas lantai talang dikalikan tinggi talang, sehingga fungsi luas penampang talang adalah sebagai berikut.

L(x) = x(80 – 2x)
L(x) = 80x – 2x2

Nilai L(x) akan maksimum saat turunan pertamanya sama dengan nol yaitu L'(x)= 0.

L(x) = 80x – 2x2
L'(x) = 80 – 4x
0 = 80 – 4x
4x = 80
x = 20 cm

Nilai x mewakili tinggi talang, artinya agar luas penampang talang maksimum maka tinggi talang x = 20 cm.

Jawaban: A

Sekian ulasan materi cara menghitung biaya produksi minimum dan keuntungan maksimum dari suatu produksi. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Pengantar Materi Turunan

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.