Kecapatan dan Percepatan Partikel dari Persamaan Jarak s(t)

By | September 20, 2021

Kecapatan dan percepatan partikel menunjukkan seberapa cepat/lambat laju seuatu partikel. Sebuah partikel bergerak dan menempuh jarak s dengan kecepatan v dan percepatan a. Waktu yang dibutuhkan partikel untuk menempuh jarak sejauh s adalah t. Kecepatan dan Percepatan partikel tersebut dapat diketahui dengan persamaan gerak lurus beratuan (GLB) atau gerak lurus berubah beraturan (GLBB).

Sebuah partikel yang bergerak juga kerap kali dinyatakan dalam persamaan s(t). Di mana, s(t) merupakan persamaan dengan variabel t dengan s menunjuk jarak yang ditempuh partikel dan t adalah waktu. Misalkan sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan s(t) = t2 ‒ 1. Artinya, jarak tempuh benda yang bergerak sampai waktu t = 3 adalah s(3) = 32 ‒ 1 = 9‒1 = 8 meter. Dari persamaan jarak yang berbentuk s(t) juga dapat diketahui kecepatan dan percepatan gerak partikel/benda.

Hubungan Persamaan Jarak s(t) dengan Kecepatan dan Percepatan Partikel

Bagaimana cara menghitung kecepatan yang ditempuh partikel pada gerak partikel dalam persamaan s(t)? Bagaimana cara menghitung percepatan yang ditempuh benda/partikel pada gerak partikel dalam persamaan s(t)? Sobat idshchool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Gerak Benda Jatuh Bebas dan Vertikal ke Atas

Hubungan Persamaan Jarak S(t) dengan Kecepatan Partikel

Partikel yang bergerak lurus berubah beraturan memiliki kecepatan yang berubah-ubah (tidak tetap). Misalnya pada partikel yang bergerak menempuh jarak s dalam waktu t. Kecepatan rata-rata partikel dapat diperoleh dengan persamaan selisih jarak (Δs) per selisih waktu (Δt).

Bentuk Umum Rumus Kecepatan

Saat nilai selang t menuju waktu yang relatif singkat atau mendekati nol maka persamaan menjadi bentuk limit. Dari bentuk persamaan limit tersebut sama dengan definisi turunan. Misalkan fungsi jarak adalah s(t), turunan pertama dari fungsi jarak disimbolkan dengan ds(t)/dt atau s’(t).

Jadi persamaan kecepatan partikel dapat diperoleh dengan mencari turunan pertama dari fungsi jarak s(t).

Hubungan Persamaan Kecepatan Partikel dan Persamaan Jarak s(t)

Baca Juga: Perbedaan Kelajuan dan Kecepatan dalam Bahasan Fisika

Hubungan Persamaan Jarak S(t) dengan Kecepatan Partikel

Percepatan diperoleh dari perubahan kecepatan per selang waktu. Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, dapat diperoleh hubungan antara persamaan kecepatan dan percepatan partikel.

Bentuk Umum Rumus Percepatan

Hubungan tersebut dinyatakan dalam bentuk turunan pertama fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) adalah fungsi percepatan a(t). Diketahui bahwa persamaan kecepatan sama dengan turunan pertama fungsi jarak s(t). Sehingga dapat disimpulkan bawah fungsi percepatan a(t) adalah turunan pertaman dari turunan pertama fungsi jarak. Atau, persamaan percepan partikel sama dengan turunan kedua dari fungsi jarak s(t).

Hubungan Persamaan Percepatan Partikel dan Persamaan Jarak s(t)

Baca Juga: Cara Menghitung Kecepatan Peluru yang Menumbuk Ayunan Balistik

Contoh Penggunaan Hubungan Gerak Partikel dalam Persamaan Jarak s(t) dengan Kecepatan v(t) dan Percepatan a(t)

Sebuah partikel bergerak pada lintasan garis lurus. Persamaan partikel itu yang dirumuskan dengan s(t) = t3 + 6t2 + 9t + 4. Diketahui satuan s dalam meter dan t dalam detik atau sekon.

Jarak tempuh partikel t dapat diketahui dengan cara substitusi nilai t pada pesamaan s(t). Untuk mengetahui kecepatan dan percepatan partikel dapat dihitung melalui persamaan kecepatan v(t) dan percepatan a(t). Persamaan untuk kecepatan dan percepatan partikel adalah turunan pertama dan kedua dari persamaan jarak.

Diketahui persamaan partikel adalah s(t) = t3 + 6t2 + 9t + 4. Dari persamaan tersebut dapat diketahui jarak yang telah partikel ditempuh partikel saat t. Misalkan pada saat t = 2, jarak tempuh partikel sama dengan s(2) = 23 + 6×22 + 9×2 + 4 = 8 + 24 + 18 + 4 = 54 meter.

Persamaan kecepatan dan percepatan partikel dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua.

  • Persamaan kecepatan v(t) = s’(t):
    v(t) = 3 × t31 ‒ 2 × 6t21 + 9t11
    = 3t2 + 12t1 + 9t0
    = 3t2 + 12t + 9
  • Persamaan percepatan a(t) = s’’(t):
    a(t) = s’’(t)
    a(t) = v’(t)
    = 2×3t2‒1 + 12t1‒1
    = 6t1 + 12t0 → a(t) = 6t + 12

Sedangkan nilai kecepatan dan percepatan partikel dapat diperoleh dari substitusi nilai waktu t ke persamaan kecepatan dan percepatan partikel. Misalnya pada watu t = 2 diperoleh nilai kecepatan v(2) =

Hubungan Persamaan Jarak Kecepatan dan Percepatan Partikel

Baca Juga: Kecepatan Benda Setelah Tumbukan

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Kecepatan dan Percepatan Partikel

Sebuah partikel bergerak dengan persamaan s(t) = t3 ‒ 5t2 + 5t dengan satuan meter (m). Besar percepatan partikel saat t = 2 s adalah ….
A. 2 m/s2
B. 4 m/s2
C. 6 m/s2
D. 8 m/s2
E. 10 m/s2

Pembahasan:

Diketahui persamaan jarak untuk partikel: s(t) = t3 ‒ 5t2 + 5t
Persamaan percepatan partikel:
v(t) = s’(t) = 3t2 ‒ 2×5t + 5 = 3t2 ‒ 10t + 5
a(t) = s’’(t) = v’(t) = 6t ‒ 10 =

Menghitung besar percepatan partikel saat t = 2 s:
a(t) = 6t ‒ 10
a(2) = 6×2 ‒ 10 = 12 ‒ 10 = 2 m/s2

Besar percepatan partikel saat t = 2 s adalah 2 m/s2.

Jawaban: A

Contoh 2 – Soal Kecepatan dan Percepatan Partikel

Sebuah partikel bergerak dari kedudukan awal dengan persamaan kedudukan x = 2t2 + 5t + 3. Kecepatan rata-rata partikel darti t = 2 s sampai t = 5 s adalah ….
A. 9 m/s
B. 13 m/s
C. 19 m/s
D. 27 m/s
E. 31 m/s

Pembahasan:

Diketahui: persamaan kedudukan x = 2t2 + 5t + 3

  • Jarak yang ditempuh untuk t = 2 s
    x = 2t2 + 5t + 3 = 2×22 + 5×2 + 3 = 8 + 10 + 3 = 21 m
  • Jarak yang ditempuh untuk t = 5 s
    x = 2t2 + 5t + 3 = 2×52 + 5×5 + 3 = 50 + 25 + 3 = 78 m

Menghitung kecepatan rata-rata partikel darti t = 2 s sampai t = 5 s (Δt = 3 s):
v(t) = Δx/Δt
v(t) = 78 – 21/5-2
= 57/3
= 19 m/s

Jadi, kecepatan rata-rata partikel darti t = 2 s sampai t = 5 s adalah 19 m/s.

Jawaban: C

Contoh 3 – Soal Kecepatan dan Percepatan Partikel

Sebuah partikel bergerak dengan persamaan vektor posisi r = (2t2 ‒ t)i + (t3 + t)j. Besar kecepatan partikel saat t = 1 sekon adalah ….
A. 1 m/s
B. 3 m/s
C. 4 m/s
D. 5 m/s
E. 6 m/s

Pembahasan:

Diketahui persamaan gerak partikel dengan vektor posisi r = (2t2 ‒ t)i + (t3 + t)j. Persamaan kecepatan partikel tersebut dapat diperoleh dari turunan pertama vektor posisi r.

Contoh Penggunaan Hubungan Persamaan Jarak s(t) dengan Kecepatan dan Percepatan Partikel

Diperoleh persamaan kecepatan partikel v(t) = (4t ‒ 1)i + (3t2 + t)j. Kecepatan partikel saat t = 1 sekon dapat diperoleh dari subsitusi nilai t = 1 ke persamaan v (t). Sehingga, kecepatan vektor saat t = 1 sekon memenuhi persamaan di bawah.
v(t) = (4t ‒ 1)i + (3t2 + t)j
v(1) = (4×1 ‒ 1)i + (3×12 + 1)j
= (4‒1)i + (3+1)j
= 3i + 4j

Diperoleh persamaan kecepatan partike saat t = 1 adalah v = 3i + 4j. Resultan vektor dapat dihitung seperti cara di bawah.

Kecepatan Partikel dari Turunan Pertama Persamaan Jarak s(t)

Jadi, besar kecepatan partikel saat t = 1 sekon adalah 5 m/s.

Jawaban: D

Contoh 4 – Soal Jarak yang Ditempuh Partikel

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = (3t² ‒ 2t) m/s. Jika titik asal partikel berada pada O(0,0) maka posisi partikel pada saat t = 2 s adalah ….
A. 2 m
B. 4 m
C. 6 m
D. 8 m
E. 10 m

Pembahasan:

Keterangan pada soal memberikan informasi-informsi seperti berikut.

  • Persamaan kecepatan gerak partikel: v(t) = 3t² ‒ 2t
  • Titik asal partikel berada pada O(0,0)

Posisi partikel dapat diperoleh dari hasil integral pertama persamaan kecepatan partikel.

Vektor Posisi dan Persamaan Kecepatan Partikel

Menghitung posisi partikel pada saat t = 2 s:
r(t) = t3 ‒ t2
r(2) = 23 ‒ 22
= 8 ‒ 4
= 4 meter

Jadi, posisi partikel pada saat t = 2 s adalah 4 meter.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan jarak kecepatan dan percepatan partikel dengan persamaan s(t). Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Kecepatan Air yang Masuk Melalui pipa Venturimeter

Category: SMA

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.