Titik dan lingkaran yang terletak dalam satu bidang datar mempunyai kududukan yang dibedakan dalam tiga kondisi. Kondisi tersebut adalah titik di dalam lingkaran, titik pada lingkaran, dan titik di luar lingkaran. Tiga kondisi inilah yang akan dibahas pada materi tentang kedudukan titik terhadap lingkaran.
Untuk menentukan letak titik terhadap lingkaran dapat secara mudah terlihat jika digambarkan dalam bidang kartesius. Seperti halnya gambar lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dengan jari-jari 3 cm dan sebuah titik dengan koordinat P(1, 2) berikut.
Dengan sangat mudah, sobat dapat menentukan bahwa titik P berada di dalam lingkaran O. Namun, hal ini tidak efektif karena diperlukan waktu yang cukup banyak untuk membuat persamaan lingkaran dalam bentuk gambar lingkaran. Misalnya pada bagaimana untuk kedudukan titik (1, 3) pada lingkaran dengan pusat (1, 2) dan jari-jari 2 cm? Apakah letak titik (1, 3) berada di dalam lingkaran, pada lingkaran, atau di luar lingkaran?
Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Lingkaran Jika Diketahui 3 Titik yang Melalui Lingkaran
Menggambarkan lagi lingkaran dan titik bukan merupakan jalan keluar yang terbaik, ada solusi lainnya. Solusi lain untuk mengetahui kedudukan titik terhadap lingkaran dapat diperoleh dengan menggunakan suatu kriteria yang melibatkan rumus persamaan lingkaran dan titik yang bersangkutan.
Bagaimana cara mengetahui kedudukan titik terhadap lingkaran yang hanya diketahui bentuk persamaan lingkaran dan koordinat titik? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Table of Contents
3 Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Sebuah titik dan sebuah lingkaran pada satu bidang datar dapat memiliki tiga kemungkinan kedudukan. Ketiga kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran antara lain titik terletak di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan di luar lingkaran. Gambar ketiga kedudukan titik terhadap lingkarann ditunjukkan seperti berikut.
Baca Juga: Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Lingkaran dapat dinyatakan memiliki tiga bentuk persamaan umum yang meliputi bentuk x2 + y2 = r2, (x–a)2 + (y–b)2 = r2, dan x2 + y2 + Ax + By + C= 0. Sedangkan letak titik pada sebuah bidang koordinat dinyatakan dalam pasangan bilangan absis dan ordinat. Secara umum letak titik pada bidang datar dinyatakn dalam koordinat P(x, y).
Sebuah lingkaran dan titik pada satu bidang koordinat dapat ditentukan kedudukan melalui informasi persamaan lingkaran dan letak koordinat dari titik. Cara menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran dengan 3 bentuk persamaan lingkaran sesuai dengan ketentuan berikut.
1) Lingkaran dengan Persamaan Umum x2 + y2 = r2
Lingkaran dengan bentuk persamaan x2 + y2 = r2 memiliki pusat di titik O(0, 0) dengan panjang jari-jari sama dengan r. Ketentuang letak suatu titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum x2 + y2 = r2 dapat dilihat seperti daftar berikut.
- Tiitik (m, n) di dalam lingkaran jika a2 + b2 < r2
- Titik (m, n) terletak pada lingkaran jika m2 + n2 = r2
- Titik (m, n) terletak di luar lingkaran jika m2 + n2 > r2
2) Lingkaran dengan Persamaan Umum (x–a)2 + (y – b)2 = r2
Persamaan lingkaran dengan bentuk (x–a)2 + (y–b)2 = r2 memiliki pusat di titik P(a, b) dengan panjang jari-jarinya adalah r. Letak kedudukan titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum (x–a)2 + (y–b)2 = r2 dapat dilihat pada daftar berikut.
- Titik (m, n) terletak di dalam lingkaran jika (m – a)2 + (n – b)2 < r2
- Titik (m, n) terletak pada lingkaran jika (m – a)2 + (n – b)2 = r2
- Titik (m, n) terletak di luar lingkaran jika (m – a)2 + (n – b)2 > r2
3) Lingkaran dengan Persamaan Umum x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Persamaan lingkaran dengan bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 memiliki pusat di titik P(–1/2A, –1/2B) dengan panjang jari-jari memenuhi persamaan r2 = (–1/2A)2 + (–1/2B)2 – C. Kedudukan titik terhadap lingkaran yang memiliki bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0 dapat dilihat pada daftar berikut.
- Titik (m, n) terletak di dalam lingkaran jika m2 + n2 + Am + Bn + C < 0
- Titik (m, n) terletak pada lingkaran jika m2 + n2 + Am + Bn + C = 0
- Titik (m, n) terletak di luar lingkaran jika m2 + n2 + Am + Bn + C < 0
Baca Juga: Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan kedudukan titik terhadap lingkaran. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasan kedudukan titik terhadap lingkaran. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1: Soal dan Pembahasan Kedudukan Titik di Dalam Lingkaran
Soal”
Selidiki kedudukan titk (3, 1) pada lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0!
Pembahasan:
Substitusi titik (3, 1), nilai x = 3 dan y =1, pada persamaan x2 + y2 – 4x + 2y – 4 seperti pada cara berikut:
x2 + y2 – 4x + 2y – 4
= 32 + 12 – 4(3) + 2(1) – 4
= 9 + 1 – 12 + 2 – 4
= –4
Karena hasil substitusi titik pada persamaan x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = –4 < 0, maka letak titik (3, 1) berada di dalam lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0.
Contoh 2: Soal dan Pembahasan Kedudukan Titik pada Lingkaran
Soal:
Selidikilah letak titik (3, 4) pada lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 25!
Pembahasan:
Substitusi titik (3, 4), nilai x = 3 dan y = 4, pada lingkaran x2 + y2 seperti cara berikut.
x2 + y2
= 32 + 42
= 9 + 16
= 25
Karena nilai hasil substitusi titik (3, 4) ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 maka dapat disimpulkan bahwa letak titik (3, 4) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 25.
Contoh 3: Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan Titik di Luar Lingkaran
Soal:
Seldikilah letak titik (5, 3) pada lingkaran yang memiliki persamaan (x–1)2 + (y–3)2 = 9!
Pembahasan:
Substitusi nilai titik (5, 3) ke persamaan (x–1)2 + (y–3)2
(x–1)2 + (y–3)2
= (5–1)2 + (3–3)2
= 42 + 02
= 16
Karena nilai hasil subsitutusi titik (5, 3) ke persamaan (5–1)2 + (3–3)2 = 16 ? 9 maka dapat disimpulkan bahwa letak titik (5, 3) berada di luar lingkaran (x–1)2 + (y–3)2 = 9.
Sekian pembahasan mengenai kedudukan titik terhadap lingkaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.
Baca Juga: Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Wii makasih banyak penjelasannya sangat bagus