Integral pada Perhitungan Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Salah satu aplikasi integral dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dengan batas sebuah kurva atau lebih. Cara ini dilakukan karena pada umumnya luas daerah yang dibatasi kurva berupa daerah yang tidak beraturan. Bentuk luas daerah yang dibatasi kurva dapat berbeda-beda sehingga tidak ada rumus umum yang dapat digunakan untuk menghitung luas tersebut. Sebagai solusinya, luas daerah dapat dihitung dengan integral yang bergantung pada persamaan kurva dan batas-batasnya.

Luas daerah yang beraturan dapat dihitung menggunakan rumus yang sudah ditentukan. Misalnya luas persegi yang dapat dihitung melalui rumus L = s² dengan s adalah panjang sisi persegi. Contoh lain, luas persegi panjang yang dapat dihitung melalui rumus L = p × ℓ, dengan p = panjang dan ℓ = lebar dari persegi panjang. Berbeda dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan garis y = x dengan bentuk menyerupai tembereng lingkaran. Luas daerah tersebut memiliki rumus umum yang dinyatakan dalam sebuah persamaan yang memuat integral.

Baca Juga: Aplikasi Turunan untuk Mencari Luas Maksimum/Minimum Suatu Daerah

Bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva? Bagaimana aplikasi integral dapat digunakan untuk menghitung luas daerah tersebut? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

• Luas Daerah yang Dibatasi Kurva
  • 1. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang a dan b di atas sumbu x
  • 2. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang a dan b di bawah sumbu x
  • 3. Luas Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang c dan d di kanan sumbu y
  • 4. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang c dan d di kiri sumbu y
• Luas Daerah yang Dibentukan Oleh 2 Kurva
• Contoh Soal dan Pembahasan
  • Contoh 1 – Aplikasi Integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.
  • Contoh 2 – Aplikasi Integral Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Secara umum rumus luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dinyatakan melalui persamaan di bawah. Pada beberapa perhitungan mungkin akan menghasilkan nilai negatif. Kondisi tersebut dapat menunjukkan bahwa letak daerah pada kiri sumbu y atau bawah sumbu x.

Persamaan umum integral yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dibedakan dan sumbu x atau sumbu y diberikan seperti berikut.

1. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang a dan b di atas sumbu x

2. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang a dan b di bawah sumbu x

3. Luas Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang c dan d di kanan sumbu y

4. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang c dan d di kiri sumbu y

Baca Juga: Volume Benda Putar

Luas Daerah yang Dibentukan Oleh 2 Kurva

Pembahasan berikutnya adalah luas daerah yang dibatasi dua kurva. Cara menghitung luas daerah yang dibataasi dua kurva sama dengan cara menghitung luas daerah yang dibatasi sebuah kurva pada pembahasan sebelumnya. Hanya saja, dalam mencari luas daerah yang dibatasi dua buah kurva, banyaknya fungsi yang terlibat ada dua, bahkan lebih. Perhatikan gambar dan rumus untuk luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x).

Berikut ini akan diberikan contoh soal dan pembahasan tentang menentukan luas daerah yang dibatasi dua buah kurva.

Soal:
Tentukan luas yang dibatasi oleh y = −x + 2 dan y = x²!

Jawab:

Pertama, yang perlu dikerjakan adalah melihat daerah yang dibatasi kurva dengan menggambarkan sketsanya. Gambar daerah yang dibatasi dua kurva untuk fungsi seperti yang diberikan pada soal dapat dilihat melalui gambar berikut.

Kedua, menentukan batas atas dan batas bawah (titik perpotongan dua kurva):
y = y
–x + 2 = x²
x² + x – 2 = 0

Pemfaktoran dari persamaan kuadrat di atas: (x + 2)(x – 1) = 0, diperoleh nilai x = –2 dan x = 1. Hasil pemfaktoran menjadi batas oengintegralan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Berikutnya adalah menghitung luas daerah tersebut dengan menggunakan integral.

Menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y = −x + 2 dan y = x²:

Jadi, luas yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = –x + 2 adalah 4,5 satuan luas.

Untuk menambah pengetahuan sobat idschool mengenai luas daerah yang dibatasi kurva, simak contoh soal dan pembahasan lainnya yang akan diberikan di bawah.

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Aplikasi Integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x² + 2x + 3 dan g(x) = 3 – x adalah … satuan luas.
A. 3
B. 4,5
C. 6
D. 7,5
E. 9

Pembahasan:

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengetahu bentuk gambar fungsi f(x) dan g(x).

Fungsi f(x) merupakan fungsi kuadrat sehingga bentuk grafiknya berupa parabola, jika belum bisa menggambar grafik fungsi kuadrat bisa dibuka melalui halaman ini. Gambar fungsi f(x) diberikan seperti berikut.

Fungsi g(x) merupakan fungsi garis lurus.

Kedua adalah menentukan titik potong antara dua kurva tersebut untuk mengetahui batas pegnintegralan.
x² + 2x + 3 = 3 – x
x² + 3x = 0

Pemfaktoran persamaan kuadrat akan menghasilkan titik perpotongan antara kedua kurva untuk nilai absis (x):
x² + 3x = 0
x(x + 3) = 0

Diperoleh dua persamaan yaitu x = 0 dan x + 3 = 0, sehingga dua nilai yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah x = 0 atau x = –3.

Mencari titik ordinat untuk masing-masing nilai x:

• untuk x = 0, y = 3 – x = 3 – 0 = 3
• untuk x = –3, y = 3 – (–3) = 3 + 3 = 6

Diperoleh dua titik perpotongan antar fungsi f(x) dan g(x) yaitu (0, 3) dan (–3, 6). Gambar kedua fungsi f(x) dan g(x) beserta titip potong kedua kurva dapat dilihat melalui gambat di bawah.

Selanjutnya, kita akan menghitung luas daerah tersebut, dengan batas a = – 3 dan b = 0.

Jawaban: B

Baca Juga: Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Contoh 2 – Aplikasi Integral Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Perhatikan gambar di bawah!

Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus ….

Pembahasan:

Untuk mendapatkan luas daerah yang dibatasi kurva, dapat diperoleh dengan membagi luas daerah menjadi beberapa bagian. Perhatikan gambar di bawah.

Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral dapat dicari melalui persamaan berikut.

Jawaban: A

Sekian pembahasan mengenai materi aplikasi integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca juga: Integral