Aplikasi Integral: Mencari Luas Daerah yang dibatasi Kurva

By | May 18, 2017

Mencari Luas Daerah yang Dibatasi Kurva – Aplikasi integral dapat ditemukan pada cara mencari luas daerah yang dibatasi kurva. Baik yang dibatasi oleh sebuah kurva, dua kurva, atau lebih. Mencari luas daerah dengan integral sangat berguna untuk mengetahui luas daerah yang tidak beraturan, contihnya daerah yang dibatasi kurva. Untuk dapat menghitung luas daerah yang dibatasi kurva, sobat idschool perlu beberapa keterampilan. Beberapa keterampilan tersebut adalah mengenali bentuk kurva dan batas wilayah kurva yang biasanya merupakan perpotongan kurva. Melalui halaman ini, idschool akan mengulas bagaimana aplikasi integral untuk mencari luas daerah yang dibatasi kurva.

Luas daerah yang beraturan dapat dihitung menggunakan rumus yang sudah ditentukan, misalnya luas persegi yang dapat dihitung melalui rumus L = s2. Lalu bagaimana untuk luas daerah yang tidak beraturan? Solusinya adalah menghitungnya dengan integral, misalnya untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = x. Gambar daerah yang dibatasi oleh kedua fungsi tersebut diberikan seperti daerah yang diarsir berikut.

Bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva? Bagaimana aplikasi integral dapat digunakan untuk menghitung luas daerah tersebut? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Aplikasi Turunan untuk Mencari Luas Maksimum/Minimum Suatu Daerah

Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Sebelum mengulas aplikasi integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva lebih lanjut, sebaiknya sobat idschool sudah menguasai kemampuan dasar untuk menentukan hasil integral dari sebuah fungsi terlebih dahulu. Kemampuan yang harus dimiliki juga terkait menggambar fungsi, baik fungsi kuadrat, fungsi linear, dan lain sebagainya. Hal ini akan memudahkan sobat idschool untuk menyelesaikan soal mencari luas daerah yang dibatasi kurva.

Pehatikan gambar luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dan rumus integral untuk mencari luas daerah tersebut di bawah!

luas daerah yang dibatasi kurva

Luas suatu daerah yang dibatasi sebuah kurva dapat dicari menggunakan rumus integral. Beberapa persamaan umum integral yang digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x atau sumbu ydiberikan seperti berikut.

1. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang a dan b di atas sumbu x

Aplikasi Integral Untuk Menghitung Daerah yang Dibatasi Kurva

2. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang a dan b di bawah sumbu x

Daerah-yang-dibatasi-kurva

3. Luas Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang c dan d di kanan sumbu y

Aplikasi Integral

4. Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang c dan d di kiri sumbu y

Daerah yang dibatasi kurva dengan sumbu y

Baca Juga: Volume Benda Putar

Luas Daerah yang Dibentukan Oleh Dua Kurva

Pembahasan berikutnya adalah luas daerah yang dibatasi dua kurva. Cara menghitung luas daerah yang dibataasi dua kurva sama dengan cara menghitung luas daerah yang dibatasi sebuah kurva pada pembahasan sebelumnya. Hanya saja, dalam mencari luas daerah yang dibatasi dua buah kurva, banyaknya fungsi yang terlibat ada dua, bahkan lebih. Perhatikan gambar dan rumus untuk luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x).

luas daerah yang dibatasi dua kurva

Berikut ini akan diberikan contoh soal dan pembahasan tentang menentukan luas daerah yang dibatasi dua buah kurva.

SOAL: Tentukan luas yang dibatasi oleh y = −x + 2 dan y = x2!

Jawab:

Pertama, yang perlu dikerjakan adalah melihat daerah yang dibatasi kurva dengan menggambarkan sketsanya. Gambar daerah yang dibatasi dua kurva untuk fungsi seperti yang diberikan pada soal dapat dilihat melalui gambar berikut.

Aplikasi Integral - Pembahasan

Kedua, menentukan batas atas dan batas bawah (titik perpotongan dua kurva):
y = y
–x + 2 = x2
x2 + x – 2 = 0

Pemfaktoran dari persamaan kuadrat di atas: (x + 2)(x – 1) = 0, diperoleh nilai x = –2 dan x = 1. Hasil pemfaktoran menjadi batas oengintegralan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Berikutnya adalah menghitung luas daerah tersebut dengan menggunakan integral.

Menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y = −x + 2 dan y = x2:

Pembahasan Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Jadi, luas yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = –x + 2 adalah 4,5 satuan luas.

Untuk menambah pengetahuan sobat idschool mengenai luas daerah yang dibatasi kurva, simak contoh soal dan pembahasan lainnya yang akan diberikan di bawah.

Baca Juga: Persamaan Kuadrat Baru

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Aplikasi Integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 + 2x + 3 dan g(x) = 3 – x adalah … satuan luas.
A. 3
B. 4,5
C. 6
D. 7,5
E. 9

Pembahasan:

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengetahu bentuk gambar fungsi f(x) dan g(x).

Fungsi f(x) merupakan fungsi kuadrat sehingga bentuk grafiknya berupa parabola, jika belum bisa menggambar grafik fungsi kuadrat bisa dibuka melalui halaman ini. Gambar fungsi f(x) diberikan seperti berikut.

grafik fungsi kuadrat

Fungsi g(x) merupakan fungsi garis lurus.

contoh soal luas daerah yang dibatasi dua kurva

Kedua adalah menentukan titik potong antara dua kurva tersebut untuk mengetahui batas pegnintegralan.
x2 + 2x + 3 = 3 – x
x2 + 3x = 0

Pemfaktoran persamaan kuadrat akan menghasilkan titik perpotongan antara kedua kurva untuk nilai absis (x):
x2 + 3x = 0
x(x + 3) = 0

Diperoleh dua persamaan yaitu x = 0 dan x + 3 = 0, sehingga dua nilai yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah x = 0 atau x = –3.

Mencari titik ordinat untuk masing-masing nilai x:

  • untuk x = 0, y = 3 – x = 3 – 0 = 3
  • untuk x = –3, y = 3 – (–3) = 3 + 3 = 6

Diperoleh dua titik perpotongan antar fungsi f(x) dan g(x) yaitu (0, 3) dan (–3, 6). Gambar kedua fungsi f(x) dan g(x) beserta titip potong kedua kurva dapat dilihat melalui gambat di bawah.

contoh soal luas daerah yang dibatasi dua kurva

Selanjutnya, kita akan menghitung luas daerah tersebut, dengan batas a = – 3 dan b = 0.

Pembahasan Soal Aplikasi Integral untuk Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Jawaban: B

Baca Juga: Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Contoh 2 – Aplikasi Integral Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Perhatikan gambar di bawah!

rumus integral mencari luas daerah yang dibatasi dua kurva

Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus ….

abcde

Pembahasan:

Untuk mendapatkan luas daerah yang dibatasi kurva, dapat diperoleh dengan membagi luas daerah menjadi beberapa bagian. Perhatikan gambar di bawah.

pembahasan luas daerah yang dibatasi dua kurva

Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral dapat dicari melalui persamaan berikut.

    \[ \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx + \int_{b}^{d} g(x) \; dx - \int_{b}^{c} f(x) \]

Jawaban: A

Sekian pembahasan mengenai materi aplikasi integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca juga: Integral

3 thoughts on “Aplikasi Integral: Mencari Luas Daerah yang dibatasi Kurva

  1. Lalala

    Mau nanya maap banget aku gamudeng di bagian luas Daerah Diantara Dua Kurva, kok bisa hasilnya 19/6 sumpah kal tolong banget dijabarin

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.