Cara Hitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dengan Integral

Luas daerah yang dibatasi kurva umumnya memiliki bentuk yang tidak beraturan. Sehingga luas derah tersebut tidak memiliki bentuk rumus luas yang pasti seperti pada persegi, lingkaran, atau bangun datar bentuk lainnya. Untuk mengetahui luas daerah yang dibatasi oleh sebuah kurva atau lebih dapat dilakukan dengan rumus integral.

Sebagai contoh, sebuah daerah dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = x. Bentuk luas daerah yang dibatasi oleh sebuah kurva dan garis lurus tersebut berbentuk seperti tembereng lingkaran. Namun daerah tersebut tidak dapat dihitung dengan rumus luas tembereng karena daerah tersebut bukan tembereng dari suatu lingkaran.

Contoh Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Luas daerah yang terbentuk oleh sebuah kurva dan garis lurus seperti di atas dapat diketahui dengan rumus integral tentu. Di mana batas integral diperoleh dari titik perpotongan antara kurva y = x2 dan garis y = x.

Bagaimana rumus integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva? Bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Rumus dan Cara Menghitung Volume Benda Putar dengan Integral

Rumus Fungsi Integral untuk Luas Daerah yang Dibatasi Sebuah Kurva dengan Sumbu x

Luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dengan sumbu x memiliki dua bentuk rumus fungsi integral. Fungsi pertama digunakan ketika luas daerah berada di atas sumbu x. Fungsi kedua digunakan ketika luas daerah berada di bawah sumbu y

Rumus Fungsi integral untuk luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dengan sumbu x terdapat pada persamaan berikut.

1) Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang a dan b di atas sumbu x

Rumus Luas Daerah yang Dibatasi Kurva di Atas Sumbu x

2) Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang a dan b di bawah sumbu x

Luas Daerah yang Dibatasi Kurva di Bawah Sumbu x

Rumus Fungsi Integral untuk Luas Daerah yang Dibatasi Sebuah Kurva dengan Sumbu y

Luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dengan sumbu y memiliki dua bentuk rumus fungsi. Fungsi pertama digunakan ketika luas daerah berada di kanan sumbu y. Fungsi kedua digunakan ketika luas daerah berada di kiri sumbu y.

Rumus fungsi integral untuk luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dan sumbu y memiliki batas bilangan pada sumbu y. Dua bentuk rumus fungsi integral untuk luas daerah yang terbentuk dari sebuah kurva dan sumbu y terdapat pada persamaan berikut.

1) Luas daerah dibatasi kurva f(x) pada selang c dan d di kanan sumbu y

Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dan Sumbu y di Sebelah Kanan

2) Daerah Dibatasi Kurva f(x) pada selang c dan d di kiri sumbu y

Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dan Sumbu y di Sebelah Kiri

Baca Juga: Aplikasi Turunan untuk Mencari Luas Maksimum/Minimum Suatu Daerah

Pada beberapa perhitungan mungkin akan menghasilkan nilai negatif. Namun besar luas daerah dapat diperoleh dengan mengambil nilai mutlaknya. Kondisi tersebut dapat terjadi saat terjadi penggunaan rumus fungsi integral yang tidak sesuai dengan letak daerah pada bawah/atas sumbu x atau kanan/kiri sumbu y.

Luas Daerah yang Dibatasi 2 Kurva

Luas daerah yang dibatasi dua kurva dihitung dengan cara mencari hasil integran tentu dari selisih dua fungsi yang membatasi daerah. Misalkan, sebuah daerah dibatasi oleh fungsi f(x) dan fungsi f(y). Luas daerah yang dibatasi oleh kedua fungsi tersebut pada selang (a, b) dapat dapat dihitung dengan fungsi integral L = ʃab (f(x) ‒ g(x)) dx.

Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva

Darah berwarna biru di atas merupakan daerah yang dibatasai oleh kurva f(x) dan g(x) dengan batas a dan b. Bentuk luas daerah yang dibentuk oleh dua kurva tersebut tidak beraturan. Sehingga, luas daerah tersebut dihitung dengan rumus fungsi integral.

Cara Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva akan ditunjukkan melalui sebuah penyelesaian soal di bawah.

Soal:
Tentukan luas yang dibatasi oleh y = −x + 2 dan y = x2!

Pembahasan:
Pertama, yang perlu dikerjakan adalah melihat daerah yang dibatasi kurva dengan menggambarkan sketsanya.

Bentuk grafik dari y = x2 adalah parabola yang terbuka ke atas dengan sumbu simetri titik (0, 0). Sementara grafik dari fungsi y = −x + 2 berupa garis lurus.

Gambar daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = −x + 2 sesuai dengan daerah yang diarsir berikut.

Contoh Soal Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dan Garis

Kedua, perlu untuk menentukan batas pengintegralan. Di mana batas pengintegralan dapat diperoleh dari titik potong antara kurva y = x2 dan garis y = −x + 2. Titik potong antara kurva y = x2 dan garis y = −x + 2 dapat diperoleh dengan cara membuat persamaan sama dengannya.

Titik perpotongan kurva dan garis:
y = y
–x + 2 = x2
x2 + x – 2 = 0

Diperoleh persamaan kuadrat x2 + x – 2 = 0. Pemfaktoran dari persamaan kuadrat tersebut akan menghasilkan titik potong kurva dan garis.

Pemfaktoran persamaan kuadrat:
x2 + x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0

Didapat nilai x = –2 dan x = 1. Hasil pemfaktoran menjadi batas pengintegralan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Berikutnya adalah menghitung luas daerah tersebut dengan menggunakan integral.

Cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y = −x + 2 dan y = x2 dilakukan seperti pada langkah penyelesaian berikut.

Contoh Cara Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Jadi, luas yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = –x + 2 adalah 4,5 satuan luas.

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1Luas daerah yang dibatasi kurva

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 + 2x + 3 dan g(x) = 3 – x adalah . . . satuan luas.
A. 3
B. 4,5
C. 6
D. 7,5
E. 9

Pembahasan:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengetahu bentuk gambar fungsi f(x) dan g(x).

Fungsi f(x) merupakan fungsi kuadrat sehingga bentuk grafiknya berupa parabola yang langkah mendapatkannya terdapat pada halaman cara menggambar grafik fungsi kuadrat. Bentuk grafik fungsi kuadrat yang sesuai untuk persamaan kuadrat f(x) = x2 + 2x + 3 terdapat pada gambar di bawah.

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi g(x) = 3 – x merupakan persamaan linear yang memiliki bentuk grafik berupa garis lurus. Cara menggambar persamaan linear berupa garis lurus dilakukan dengan mencari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y. Grafik garis lurus yang sesuai dengan persamaan g(x) = 3 – x terdapat pada gambar di bawah.

Grafik Garis Lurus y = 3 - x

Kedua adalah menentukan titik potong antara dua kurva tersebut untuk mengetahui batas integral.

x2 + 2x + 3 = 3 – x
x2 + 3x = 0

Pemfaktoran persamaan kuadrat akan menghasilkan titik perpotongan antara kedua kurva untuk nilai absis (x):
x2 + 3x = 0
x(x + 3) = 0

Diperoleh dua persamaan yaitu x = 0 dan x + 3 = 0, sehingga dua nilai yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah x = 0 atau x = –3.

Mencari titik ordinat untuk masing-masing nilai x:

  • Nilai y untuk x = 0,
    y = 3 – x
    y = 3 – 0 = 3
  • Nilai y untuk x = –3,
    y = 3 – (–3)
    y = 3 + 3 = 6

Diperoleh dua titik perpotongan antar fungsi f(x) dan g(x) yaitu (0, 3) dan (–3, 6). Gambar kedua fungsi f(x) dan g(x) beserta titip potong kedua kurva dapat dilihat melalui gambat di bawah.

Pembahasan Soal Luas Daerah yang Divatasi oleh Dua Kurva

Selanjutnya, kita akan menghitung luas daerah tersebut, dengan batas a = –3 dan b = 0.

Cara Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 + 2x + 3 dan g(x) = 3 – x adalah 4,5 satuan luas.

Jawaban: B

Baca Juga: Rumus Cepat Menghitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Contoh 2Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Perhatikan gambar di bawah!

Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus . . . .

Pilihan Persamaan Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Pembahasan:
Untuk mendapatkan luas daerah yang dibatasi kurva, dapat diperoleh dengan membagi luas daerah menjadi beberapa bagian.

Perhatikan gambar di bawah.

Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral dapat dicari melalui persamaan ʃab (f(x) ‒ g(x)) dx + ʃbd g(x) dx ‒  ʃbc f(x) dx.

Jawaban: A

Sekian pembahasan mengenai materi aplikasi integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca juga: Rumus Integral Fungsi Trigonometri

3 thoughts on “Cara Hitung Luas Daerah yang Dibatasi Kurva dengan Integral”

  1. Mau nanya maap banget aku gamudeng di bagian luas Daerah Diantara Dua Kurva, kok bisa hasilnya 19/6 sumpah kal tolong banget dijabarin

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.