Bentuk Akar

By | May 18, 2017

Bentuk Akar adalah materi yang telah diperkenalkan sedikit di tingkat sekolah menengah. Materi kembali diberikan di tingkat sekolah menengah atas dengan tingkat materi yang lebih dalam dibanding tingkat sekolah menengah. Melalui halaman ini, idschool akan mengulas materi tentang bentuk akar yang meliputi bentuk akar sekawan, sifat-sifat bentuk akar, dan contoh soal bentuk akar beserta pembahasannya.

Bentuk-bentuk Akar Sekawan

Bentuk akar sekawan digunakan untuk merasionalkan bentuk akar dalam menyederhanakan pecahan. Bentuk akar sekawan menyesuaikan pembilang dari suatu pecahan.

Bentuk umum akar dan akar sekawannya dapat dilihat seperti rumus berikut.

Bentuk akarAkar sekawan

    \[\left(a+\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(a-\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(a-\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(a+\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\]

    \[\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\]

Menyederhanakan bentuk pecahan dalam bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikan akar sekawannya. Caranya dapat dilihat seperti berikut ini.

    \[\frac{a}{\sqrt{b}}\;=\;\frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\;=\;\frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b}}\]

    \[\frac{a}{b + \sqrt{c}}\;=\;\frac{a}{b + \sqrt{c}} \cdot \frac{b - \sqrt{c}}{b - \sqrt{c}}\;=\;\frac{a \left(b - \sqrt{c}\right)}{b - \sqrt{c}}\]

    \[\frac{a}{b - \sqrt{c}}\;=\;\frac{a}{b - \sqrt{c}} \cdot \frac{b + \sqrt{c}}{b + \sqrt{c}}\;=\;\frac{a \left(b + \sqrt{c}\right)}{b + \sqrt{c}}\]

Sifat-Sifat Bentuk Akar

Seperti halnya pada materi eksponen, akar juga memiliki sifat-sifat akar yang diperlukan untuk menyelesaikan soal dalam bentuk akar. Sifat-sifat akar dapat dilihat seperti rumus umum berikut.

    \[\sqrt[n]{a^{m}}\;=\;a^{\frac{m}{n}}\]

    \[\sqrt[n]{ab}\;=\;\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\]

    \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\;=\;\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

    \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\;=\;\sqrt[m\cdot n]{a}\]

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Bentuk Akar 1 (Soal UN 2016)

    \[ \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \]

Bentuk sederhana dari persamaan tersebut adalah ….

    \[\textrm{A. }\frac{2}{3}\sqrt{35}-\frac{2}{3}\sqrt{14}\]

    \[\textrm{B. }\frac{2}{3}\sqrt{35}-\sqrt{5}\]

    \[\textrm{C. }\frac{2}{3}\sqrt{14}-\frac{2}{3}\sqrt{14}\]

    \[\textrm{D. }\frac{2}{3}\sqrt{14}+\frac{2}{3}\sqrt{35}\]

    \[\textrm{E. }\frac{2}{3}\sqrt{35}+\frac{2}{3}\sqrt{14}\]

Pembahasan:

    \[\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \;= \;\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} - {\sqrt{5}}}{\sqrt{2} - {\sqrt{5}}}\;\]

    \[=\;\frac{2\sqrt{14}-\sqrt{35}}{2-5}\]

    \[=\frac{-2}{3}\sqrt{14}+\frac{2}{3}\sqrt{35}\]

    \[=\;\frac{2}{3}\sqrt{35}\;-\;\frac{2}{3}\sqrt{14}\]

Jawaban: A

Contoh Soal Bentuk Akar 2

    \[ \frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}+2} \]

Bentuk sederhana dari persamaan tersebut adalah ….

    \[\textrm{A. }4-2\sqrt{3}\]

    \[\textrm{B. }2-\sqrt{3}\]

    \[\textrm{C. }-2+\sqrt{3}\]

    \[\textrm{D. }-4+\sqrt{3}\]

    \[\textrm{E. }-4-2\sqrt{3}\]

Pembahasan:

    \[\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}+2}\;=\;\frac{5-3}{\sqrt{3}+2} \frac{5-3}{\sqrt{3}+2}\;\]

    \[=\;\frac{2}{\sqrt{3}+2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3}-2}\]

    \[=\;\frac{2\sqrt{3}-4}{3-4}\]

    \[=\;\frac{2\sqrt{3}-4}{-1}\;=\;4-2\sqrt{3}\]

Jawaban: A

Sekian ulasan tentang bentuk akar matematika SMA. Dilengkapi dengan contoh soal bentuk akar beserta pembahasannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.