Persamaan Logaritma

By | May 18, 2017

Persamaan Logaritma – Banyak operasi matematika yang memiliki pasangan dengan sifat berkebalikan. Misalnya penjumlahan dengan pengurangan, perkalian dengan pembagian, dan lain sebagainya. Sedangkan kebalikan dari logaritma adalah eksponen/pemangkatan. Sehingga, dalam definisi sederhana dapat dikatakan bahwa logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Melalui halaman ini, sobat idschool akan mepelajari persamaan logaritma.

Soal-soal dalam persamaan logaritma memiliki berbagai bentuk tipe soal. Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mempelajari beberapa bentuk tipe soal persamaan logaritma dan bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma tersebut.

Bagaimana pun variasi soal yang diberikan pada persamaan logaritma dapat diselesaikan dengan mudah jika telah memahami sifat-sifat persamaan logaritma dan operasi dasar aljabar. Untuk itu, sebelum membahas persamaan logaritma, akan diulas sifat-sifat logaritma terlebih dahulu untuk membantu sobat idschool mengingat sifat-sifat logaritma.

Sifat-Sifat Logaritma:

    \[^{a}\textrm{log }c = b \leftrightarrow a^{b}=c\]

    \[^{a}\textrm{log }a = 1\]

    \[^{a}\textrm{log }xy = ^{a}\textrm{log }x + ^{a}\textrm{log }y \]

    \[^{a}\textrm{log }\frac{x}{y} = ^{a}\textrm{log }x - ^{a}\textrm{log }y \]

    \[^{a}\textrm{log } x^{p} = p \cdot ^{a}\textrm{log }x \]

    \[^{a}\textrm{log } b = \frac{^{c}\textrm{log }b}{^{c}\textrm{log }a} \]

    \[a^{^{a}\textrm{log } b} = b \]

    \[a^{c}\textrm{log }b^{d} = ^{a}\textrm{log }b^{\frac{d}{c}}=\frac{d}{c}\cdot \textrm{log }b \]

    \[^{a} \textrm{log }b \cdot ^{b} \textrm{log }c \cdot ^{c}\textrm{log }d= ^{a}\textrm{log }d \]

Setelah mengingat sifat-sifat logartima di atas, berikutnya sobat idschool perlu juga perlu mengetahui sifat-sifat persamaan logaritma yang berlaku. Sifat persamaan logaritma diberikan seperti pada ulasan uraian di bawah.

Sifat Persamaan Logaritma

    \[^{a}\textrm{log }f(x)=^{a}\textrm{log }g(x) \leftrightarrow f(x) = g(x)\]

    \[^{f(x)}\textrm{log }g(x)=^{f(x)}\textrm{log }h(x) \leftrightarrow g(x) = h(x)\]

Dengan syarat f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x)>0.

Variasi soal persamaan logaritma terdiri atas beberapa bentuk persamaan logaritma. Melalui halaman ini, idschool akan meberikan 5 (lima) bentuk contoh variasi soal persamaan logaritma. Simak ulasan lebih lanjut tentang persamaan logaritma pada uraian di bawah.

 
 

Persamaan Logaritma Bentuk I

Jenis variasi soal persamaan logaritma yang pertama diberikan seperti persamaan di bawah.

Persamaan Logaritma Bentuk Pertama

Contoh soal persamaan logaritma bentuk I dan pembahasan:

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = 1}\]

Pembahasan:

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = }^{3}\textrm{log 3}\]

    \[^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = }\textrm{3}\]

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{ x = }\textrm{3}\]

    \[\textrm{2x}^{2}-\textrm{ x }-\textrm{ 3 = 0}\]

    \[\textrm{2x}^{2}\textrm{( + 2x }-\textrm{ 3x)}-\textrm{ 3 = 0}\]

    \[\textrm{2x(x+1)}-\textrm{3(x + 1) = 0}\]

    \[\textrm{(2x}-\textrm{3)(x + 1) = 0}\]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi yaitu

    \[ 2x - 3 = 0 \rightarrow x = \frac{3}{2}\]

    \[ x + 1= 0 \rightarrow x = -1 \]

 

Persamaan Logaritma Bentuk II

Untuk variasi persamaan logaritma bentuk II diberikan seperti persamaan di bawah.

Persamaan Logaritma Bentuk 2

Contoh soal persamaan logaritma bentuk II dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di bawah!

/[ ^{2}log \left( 2x^{2} – 6x – 7 \right) = ^{3}log \left( 2x^{2} – 6x -7 \right) \]

Pembahasan:

    \[ 2x^{2} - 6x - 7 = 1 \]

    \[ 2x^{2} - 6x - 8 = 0 \]

    \[ 2x^{2} + 2x - 8x - 8 = 0 \]

    \[ 2x(x + 2) - 4(x + 2) = 0 \]

    \[ (2x - 4)(x + 2) = 0 \]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan logaritma pada soal adalah

    \[ 2x - 4 = 0 \rightarrow x = 2 \]

    \[ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \]

 
 

Persamaan Logaritma Bentuk III

Bentuk soal persamaan logaritma yang ke tiga dinyatakan seperti persamaan logaritma di bawah.

Persamaan Logaritma

Contoh soal persamaan logaritma bentuk III dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di bawah!

    \[ ^{5}log \left(2x^{2} + 5x - 10 \right) = ^{5}log \left(x^{2} - 2x + 18 \right) \]

Jawab:

    \[ 2x^{2} + 5x - 10 = x^{2} + 2x + 18 \]

    \[ 2x^{2} - x^{2} + 5x -  2x - 10 - 18 = 0 \]

    \[ x^{2} + 3x - 28 = 0 \]

    \[ (x - 4)(x + 7) = 0 \]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi adalah

    \[ x - 4 = 0 \rightarrow x = 4 \]

    \[ x + 7 = 0 \rightarrow x = - 7 \]

 

Persamaan Logaritma Bentuk VI

Variasi soal dalam persamaan logaritma bentuk ke empat diberikan seperti persamaan di bawah.

Persamaan Logaritma Bentuk 4

 

Contoh soal dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di bawah.

    \[ ^{x^{2}- 1} log \left( 2x^{2} - 2x + 20 \right) = ^{x^{2}-1} log \left( x^{2} + 6x + 5 \right) \]

Pembahasan:

    \[ 2x^{2} - 2x + 20 = x^{2} + 6x + 5 \]

    \[ 2x^{2} - x^{2} - 2x - 6x + 20 - 5 = 0 \]

    \[ x^{2} - 8x + 15 = 0 \]

    \[ (x - 3)(x - 5) = 0 \]

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi adalah

    \[ (x - 3) = 0 \rightarrow x = 3 \]

    \[ (x - 5) = 0 \rightarrow x = 5 \]

 

Persamaan Logaritma Bentuk V

Persamaan logaritma yang dapat diubah kedalam bentuk persamaan kuadrat maka penyelesaiannya dapat dicari dengan mengubah persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat kemudian menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut.

 

Contoh soal persamaan logaritma bentuk V dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut!

    \[^{3}log^{2} x - 7 \cdot log x + 12 = 0 \]

Pembahasan:

Misalkan: p = 3log x

Sehingga diperoleh

    \[\textrm{p}^{2}-\textrm{7p + 12 = 0}\]

    \[\textrm{(p}-\textrm{4)(p}-\textrm{3) = 0}\]

Sehingga diperoleh nilai p

    \[\textrm{(p}-\textrm{4) = 0}\rightarrow\textrm{p = 4}\]

    \[\textrm{(p}-\textrm{3) = 0}\rightarrow\textrm{p = 3}\]

Substitusi nilai p = 3log 3x, sehingga akan diperoleh nilai x.

    \[^{3}\textrm{log x = 4}\rightarrow\textrm{x = 3}^{4}\textrm{= 81}\]

    \[^{3}\textrm{log x = 3}\rightarrow\textrm{x = 3}^{3}\textrm{= 27}\]

Sekian ulasan tentang persamaan logaritma yang meliputi beberapa jenis tipe soal persamaan logaritma. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Contoh Soal Logaritma Tingkat lanjut