5 Bentuk Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang menghubungkan dua fungsi atau lebih dengan sedikitnya sebuah fungsi merupakan fungsi logaritma. Contoh persamaan logaritma: y = 3log 8; 3log x2 + 3log x = 0; 3log (x2 – 6) = 0; dan lain sebagainya. Perhatikan bahwa beberapa contoh persamaan yang diberikan memuat fungsi logaritma dan suatu variabel. Permasalahan dalam persamaan logaritma pada umumnya menentukan nilai variabel yang memenuhi persamaan,

Bagaimana saja bentuk persamaan logaritma dan bagaimana cara menyelesaiakannya? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Sifat – Sifat Logaritma

Dalam operasi hitung logaritma membutuhkan sifat-sifat logaritma untuk membantu proses perhitungan. Sifat-sifat logaritma memberikan cara bagaimana suatu operasi hitung dilakukan pada fungsi logaritma. Dengan mengetahui banyak sifat logaritma tentu juga dapat membantu sobat idschool untuk menyelesaikan soal persamaan logaritma.

Berikut ini adalah daftar beberapa sifat logaritma yang dapat digunakan untuk membantu memudahkan proses perhitungan logaritma.

Baca Juga: Cara Melakukan Operasi Hitung Logaritma

Persamaan Logaritma

Bentuk dasar persamaan logaritma secara umum dinyatakan melalui persamaan-persamaan berikut.

dengan syarat f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x)>0.

Variasi soal persamaan logaritma terdiri atas beberapa bentuk persamaan yang dapat meliputi 5 (lima) bentuk persamaan berbeda. Namun pada intinya, cara pengerjaan dilakukan dengan menyamakan basis logaritma sehingga dapat diperoleh persamaan numerus. Untuk lebih jelasnya, sobat idschool dapat mencari tahu cara menyelesaikan soal persamaan logaritma melalui beberapa bentuk persamaan dan pengerjaannya di bawah.

Bentuk 1

Bentuk pertama adalah dua fungsi logaritma yang sudah memiliki basis sama dan numerus dalam bentuk yang berbeda. Satu numerus berupa fungsi dan numerus lain berupa suatu bilangan. Bentuk persamaan pertama secara umum diberikan seperti berikut.

Contoh soal 1:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3log (2x2 − x) = 1!

Penyelesaian:

Menyelesaikan persamaan logaritma:
3log (2x2 − x) = 1
3log (2x2 − x) = 3log 3
2x2 − x = 3
2x2 − x − 3 = 0
2x2 + 2x − 3x − 3 = 0
2x(x + 1) − 3(x + 1) = 0
(2x − 3)(x + 1) = 0

Dari persamaan terakhir dapat diperoleh dua persamaan yang memenuhi yaitu 2x − 3 = 0 atau x + 1 = 0. Sehingga ada dua nilai x yang memenuhi persamaan 3log (2x2 − x) = 1 . Nilai x yang memenuhi persamaan diperoleh seperti perhitungan berikut.

  • 2x − 3 = 0
    2x = 3
    x = 3/2
  • x + 1 = 0
    x = −1

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 3log (2x2 − x) = 1 adalah x = 3/2 dan x = −1.

Baca Juga: Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Bentuk 2

Bentuk kedua adalah persamaan dengan fungsi logaritma yang memiliki basis yang berbeda dan numerus sama. Kondisi persamaan bentuk ini mempunyai solusi nilai numerus sama dengan 1. Jika diketahui fungsi logaritma pertama adalah alog f(x) dan fungsi logaritma kedua adalah blog f(x) maka penyelesaian persamaan sama dengan f(x) = 1.

Contoh soal 2:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2log (2x2 − 6x − 7) = 3log (2x2 − 6x − 7)!

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa persamaan memuat dua fungsi logaritma dengan nilai basis logaritma yang berbeda dan numerus yang sama yaitu 2x2 − 6x − 7. Sehingga penyelesaian persamaan dapat diperoleh melalui hasil dari 2x2 − 6x − 7 = 1.

Menyelesaiakan persamaan logaritma:
2x2 − 6x − 7 = 1
2x2 − 6x − 8 = 0
2x2 + 2x − 8x − 8 = 0
2x(x + 2) − 4(x + 2) = 0
(2x − 4)(x + 2) = 0

Sehingga dapat diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan 2log (2x2 − 6x − 7) = 3log (2x2 − 6x − 7) seperti berikut.

  • 2x − 4 = 0
    2x = 4
    x = 4/2 = 2
  • x + 2 = 0
    x = −2

Bentuk 3

Bentuk ketiga dari persamaan logaritma menyatakan persamaan dua fungsi logaritma yang memiliki basis yang sama dan numerus yang berbeda. Penyelesaian persamaan dengan bentuk seperti ini dilakukan melalui persamaan numerus dari kedua fungsi logaritma.

Contoh soal 3:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 5log (2x2 + 5x − 10) = 5log (x2 − 2x + 18)!

Penyelesaian:

Soal yang diberikan pada contoh soal memiliki basis logaritma sama yaitu lima dengan numerus yang berbeda yaitu 2x2 + 5x − 10 dan x2 − 2x + 18. Sehingga penyelesaian persamaan tersebut dapat dilakukan seperti cara penyelesaian berikut.

Menyelesaikan persamaan logaritma:
2x2 + 5x − 10 = x2 + 2x + 18
2x2 − x2 + 5x − 2x − 10 − 18 = 0
x2 + 3x − 28 = 0
(x − 4)(x + 7) = 0

Sehingga dapat diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan seperti berikut.

  • x – 4 = 0
    x = 4
  • x + 7 = 0
    x = – 7

Baca Juga: Grafik Fungsi Logaritma

Bentuk 4

Persamaan bentuk keempat hampir sama dengan bentuk ketiga karena memiliki basis logaritma yang sama. Perbedananya, basis logaritma pada bentuk 3 berupa suatu bilangan, sedangkan pada bentuk 4 memiliki basis logaritma berupa suatu fungsi.

Pada bentuk seperti ini, sobat idschool tidak perlu memusingkan basis logaritma yang berupa suatu fungsi. Karena penyelesaian persamaan dapat dilakukan dengan menyamakan numerus logaritma. Berikut ini adalah contoh cara menyelesaikan soal persamaan logaritma bentuk 4.

Contoh soal 4:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan di bawah!

Penyelesaian:

Menyelesaikan persamaan logaritma:
2x2 − 2x + 20 = x2 + 6x + 5
2x2 − x2 − 2x − 6x + 20 − 5 = 0
x2 − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0

Nilai x yang memenuhi:
x − 3 = 0 → x = 3
x − 5 = 0 → x = 5

Bentuk 5

Bentuk kelima dilakukan pada persamaan logaritma dengan bentuk persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat. Kemudian, penyelesaiannya persamaan dapat dilakukan dengan menyelsaikan persamaan kuadrat. Secara umum, bentuk fungsi logaritma yang dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

p alog2x − q alog x + r = 0

Contoh soal 5:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 3log2x − 7 3log x + 12 = 0!

Penyelesaian:

Misalkan: p = 3log x
Sehingga dapat diperoleh persamaan seperti berikut.

p2 − 7p + 12 = 0
(p − 4)(p − 3) = 0

Diperoleh nilai p:
p − 4 = 0 → p = 4
p − 3 = 0 → p = 3

Substitusi nilai p = 3log x sehingga akan diperoleh nilai x.
3log x = 4 → x = 3= 81
3log x = 3 → x = 33 = 27

Sekian ulasan tentang persamaan logaritma yang meliputi beberapa jenis tipe soal persamaan logaritma. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Contoh Soal Logaritma Tingkat lanjut

3 comments

  1. Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang peubahnya merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma
    Contoh : Tentukan semua x yang memenuhi persamaan 2log x = 3
    Jawab :
    Dari definisi logaritma kita dapatkan
    2log x = 3 ⟺ 23= x
    Jadi x = 23
    Dengan cara lain kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama dengan bilangan pokok ruas kiri yaitu:
    2log x = 3 ⟺ 2log x = 2log 23
    Dari cara pertama diperoleh x = 23. Sehingga kita sesuikan dengan bentuk terakhir kita dapat menghapus tanda logaritma
    Secara umum kita hal diatas dapat dituliskan :
    Jika alog f(x) = alog p dengan syarat a > 0 ; a ≠ 1 maka f(x) = p dengan syarat f(x) > 0
    Jadi untuk menyelesaikan persamaan logaritma kita berusaha membuat bentuk ruas kanan dan ruas kiri dalam logaritm

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.