Materi Jarak pada Dimensi Tiga

Dimensi tiga adalah bahasan mengenai bangun ruang. Di mana bentuk ruang dapat berupa kubus, balok, prisma, atau dapat juga bangun ruang bentuk lainnya. Bahasan materi jarak pada dimensi tiga meliputi jarak antara unsur ruang yang meliputi titik, garis, atau bidang. Jarak pada dimensi tiga meliputi jarak antar unsur ruang. Jarak antar unsur ruang antara lain meliputi jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak titik kek bidang, jarak garis ke garis, jarak garis ke bidang, dan jarak bidang ke bidang.

Salah satu bentuk ruang yang mempunyai banyak perhitungan istimewa adalah kubus. Pada bangun ruang berbentuk kubus memiliki panjang sisi yang sama, begitu juga dengan semua diagonal sisi dan diagonal ruang kubus. Sehingga, diagonal sisi dan diagonal ruang kubus dapat dinyatakan dalam suatu persamaan umum. Di mana panjang diagonal sisi kubus sama dengan rusuk√2 dan panjang diagonal ruang kubus sama dengan rusuk√3.

Baca Juga: Pasangan Garis Saling Sejajar, Berpotongan, dan Bersilangan pada Kubus

Kunci sukses dalam mengerjakan soal pada materi kedudukan dan jarak pada dimensi tiga adalah cermat mengamati posisi titik, garis, atau bidang. Perhitungan untuk menentukan jarak pada dimensi tiga menggunakan beberapa rumus sederhana seperti Pythgaoras, luas segitiga, kesebangunan.

Bagaimana cara melakukan perhitungan untuk menentukan jarak pada dimensi tiga? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Jarak Titik ke Titik (Jarak Dua Titik)

Jarak dua titik dinyatakan sebagai panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Untuk mencari jarak antara dua titik yang diketahui keterangan panjang, cara yang umum digunakan dapat menggunakan rumus pythagoras.

Terkadang, ada bentuk soal yang menanyakan jarak dua titik hanya diketahui koordinatnya. Jika kedua letak koordinatnya dinyatakan sebagai (x, y, z) maka dapat dicari menggunakan cara dan rumus mencari pada dimensi tiga, seperti kasus berikut.

Diketahui dua titik A dan B dengan koordinat berturut-turut adalah A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2). Jarak titik A dan B dapat dicari menggunakan rumus berikut.

jarak titik ke titik

Berikut ini akan diberikan contoh soal mencari jarak titik ke titik yang terletak pada bangun ruang untuk menambah pemahaman sobat idschool.

Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Titik

Contoh 1:
Tentukan jarak antara dua titik yang memiliki koordinat P(0, 7, 6) dan Q(5, 2, 1)!

Pembahasan:

Jarak pada dimensi tiga untuk titik P(0, 7, 6) ke titik Q(5, 2, 1) dapat dihitung seperti cara berikut.

|PQ|2 = (0 − 5)2 + (7− 2)2 + (6 − 1)2
|PQ|2 = (−5)2 + 52 + 52
|PQ|2 = 25×3
|PQ| = √(25×3)
|PQ| = √25×√3
|PQ| = 5√3 cm

Jadi, jarak antara dua titik yang memiliki koordinat P(0, 7, 6) dan Q(5, 2, 1) adalah |PQ| = 5√3 cm.

Contoh 2:
Perhatikan gambar berikut!



Jika titik P berada pada tengah-tengah garis BF maka jarak antara titik A dan P adalah ….
A.     5√3
B.     5√2
C.     3√7
D.     3√5
E.     3√3

Pembahasan:

Perhatikan kembali informasi dan gambar yang diberikan pada soal.

Panjang PB =1/2 × 6 = 3 cm dengan menggunakan rumus phytagoras, kita akan peroleh nilai AP seperti terlihat pada cara berikut.

AP2 = 62 + 32
AP2 = 36 + 9
AP2 = 45
AP = √45
AP = √(9×5) = √9 ×√5 = 3√5

Jawaban: D

Baca Juga:

Jarak Titik dan Garis

Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang garis tegak lurus titik A ke garis g. Sobat idschool perlu melakukan proyeksi titik A pada garis g terlebih dahulu. Tarik sebuah garis yang menghubungkan titik A pada garis g. Garis inilah yang menjadi jarak titik A ke garis g.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.

JarakTitik ke Garis

Hasil proyeksi dari titik A pada garis g adalah titik A’. Jarak antara titik A ke A’ sama dengan jarak titik A ke garis g.

Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Garis

Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik C ke garis FH adalah ….
A.     2√6
B.     3√6
C.     4√6
D.     5√6
E.     6√6

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Dengan mudah kita dapat mengetahui bahwa CH, CF, dan FH merupakan diagonal sisi. Sehingga dapat disimpulkan bahawa: CH = CF = FH = diagonal sisi = 6 √2 cm.

Selanjutnya, perhatikan segitiga CFH yang terdapat pada bangun ruang diatas, jika segitiga CFH digambar ulang akan terlihat seperti gambar berikut.

Jarak C ke FH = CC’ yang dapat dihitung seperti pada perhitungan di bawah.

Jadi, jarak titik C ke garis FH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm adalah 3√6 cm.

Jarak Titik ke Bidang

Cara untuk menentukan jarak titik ke Bidang hampir sama dengan jarak titik ke garis. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan proyeksi titik pada bidang terkait. Jarak titik ke bidang dinyatakan oleh jarak titik ke proyeksi titik pada bidang. Dengan kata lain dapat disimpulkan bahwa jarak antara titik A ke bidang α adalah panjang garis tegak lurus dari titik A ke bidang α.

Perhatikan gambar di bawah dapat menggambarkan ilustrasi di atas untuk lebih jelasnya.

Jarak titik A pada bidang α sama dengan jarak AA’ dengan titik A’ merupakan titik proyeksi A pada bidang α.

Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Titik ke Bidang

Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm, maka jarak titik D terhadap bidang ACH adalah ….
A.     2 cm
B.     2√3 cm
C.     3 cm
D.     3√3 cm
E.     4√3 cm

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal, dapat diperoleh gambar di bawah.

Jarak titik D terhadap bidang ACH sama dengan jarak DD’ di mana D’ merupakan titik proyeksi D pada bidang ACH yang terletak pada garis HH’.

Untuk menghitung HH’ dibutuhkan panjang DH dan DH’. Diketahui bahwa panjang DH = panjang rusuk kubus dan DH’ adalah setengah panjang diagobal sisi kubus.

Panjang DH:
DH = panjang rusuk kubus = 6 cm

Panjang DH (setengah diagonal sisi):
DH’ = 1/2 × sisi√2 = 1/2 × 6√2 = 3√2

Selanjutnya, panjang HH’ dapat dihitung seperti pada cara berikut.

Untuk langkah selanjutnya perhatikan segitiga HDH’ (siku-siku di D)!

Berdasarkan luas segitiga HDH’ akan diperoleh persamaan: 1/2 × HH’ × DD’ = 1/2 × DH’ × DH.

Melalui dua persamaan segitiga tersebut dapat dihitung jarak D ke D’ atau DD’. Di mana jarak pada dimensi tiga untuk titik D ke D’ sama dengan jarak titik D ke bidang ACH.

Menghitung DD’:

Dengan menyelesaikan persamaan melalui cara merasional bentuk akar akan diperoleh nilai DD’ untuk bentuk yang paling sederhana. Cara mendapatkan nilai DD’ dapat dilihat seperti cara di bawah.

Jadi, jarak D ke bidang ACH sama dengan DD’ = 2√3 cm.

Jawaban: B

Jarak Garis ke Garis

Jarak antara dua garis atau jarak garis ke garis adalah panjang ruas garis yang menghubungkan antara garis pertama dan garis kedua, di mana ruas garis tersebut tegak lurus dengan garis pertama dan garis kedua. Cara yang harus dilakukan adalah mengambil sebuah titik yang merupakan bagian dari garis pertama. Kemudian, proyeksikan titik tersebut pada garis kedua. Sekarang dua titik tersebut terhubung oleh sebuah garis yang tegak lurus. Garis inilah yang menyatakan jarak garis ke garis.

Secara lebih detailnya, sobat idschool dapat melihat pada gambar di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Antara Dua Garis (Jarak garis ke garis)

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 10 cm. Titik P dan titik Q berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB dan BC. Jarak garis PQ ke garis EG adalah ….
A. 5/2√6 cm
B. 7/2√6 cm
C. 11/2√6 cm
D. 13/2√6 cm
E. 15/2√6 cm

Pembahasan:

Perhatikan garis PQ dan garis EG!

Jarak garis PQ terhadap garis EG sama dengan jarak titik M ke titik N. Sebelum menentukan panjang MN, kita perlu mengitung panjang beberapa ruas garis terlebih dahulu.

PB = QB = 5 cm (P dan Q merupakan titik tengah masing-masing rusuk)

Mencari panjang PQ: (menggunakan teorema Phytagoras)
PQ2 = BP2 + BQ2
PQ2 = 52 + 52
PQ2 = 25 + 25 = 25 × 2

Panjang PQ:
PQ = √(25×2)
PQ = √25 × √2 = 5√2 cm

Mencari panjang QN:
QN = 1/2×PQ
QN = 1/2 × 5√2
QN = 5/2√2 cm

Mencari panjang BN: (Gunakan teorema pythagoras untuk segitiga BNQ yang siku-siku di N)

Mencari panjang FM: (setengah panjang diagonal sisi kubus)
FM = 1/2×10√2 = 5√2 cm

Ingat!!!
Panjang diagonal sisi kubus adalah rusuk√ 2
Panjang diagonal ruang kubus adalah rusuk√3

Selanjutnya perhatikan gambar berikut!

Mencari panjang MF’:
MF’ = MF – BN
MF’ = 5√2 – 5/2√2
MF’ = 10/2√2 – 5/2√2
MF’ = 5/2√2 cm

Mencari Panjang MN: (gunakan Teorema Pythagoras untuk segitiga MF’N yang siku-siku di F’)

Jadi panjang garis MN dengan garis EG adalah 15/2√6 cm.

Jawaban: E

Jarak Garis ke Bidang

Jarak antara garis dan bidang merupakan jarak antara garis dengan garis proyeksinya pada bidang. Prinsip cara mencari jarak garis ke bidang hampir sama dengan mencari jarak garis ke garis. Bedanya, proyeksi pada jarak garis ke garis dilakukan antara garis ke garis, proyeksi garis ke bidang dilakukan antara garis ke bidang.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.

Contoh soal dan Pembahasan Jarak Garis ke Bidang

Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm. Titik K, titik L, titik M, dan titik N berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan GH. Jarak garis KL ke bidang DMN adalah ….
A.     10 cm
B.     8 cm
C.     6 cm
D.     4 cm
E.     3 cm

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Keterangan:
1) Garis QR merupakan jarak antara bidang DMN dengan garis KL
2) DP tegak lurus dengan garis QR (karena QR adalah garis tinggi segitiga DQP)
3) KB = BL = 1/2×AB = 1/2×6 = 3 cm

Perhatikan segitiga KLB!

Mencari panjang KL: (gunakan teorema pythagoras)
KL2 = BP2 + BQ2
KL2 = 32 + 32
KL2 = 9×2
KL = √(9×2)
KL = √9×√2 = 3√2 cm

Panjang QL = 1/2×KL = 1/2×3√2 = 3/2√2 cm (karena BQ adalah garis tinggi dan garis berat segitiga KLB).

Mencari panjang BQ: (gunakan teorema pythagoras)

Hasil perhitungan diperoleh Panjang HP = BQ = 3/2√2 cm, selanjuntnya panjang DQ dapat dihitung dengan cara berikut.

DQ = DB − BQ
DQ = 6√2 − 3/2√2
DQ = 12/2√2 − 3/2√2 = 9/2√2 cm

Dari beberapa perhitungan di atas dapat diperoleh ukuran-ukuran seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah.


Mencari panjang PF:
sebelumnya cari panjang HF terlebih dahulu, HF = diagonal sisi = 6 √2 cm
PF’ = HF − FF’ − HP
PF’ = 6√2 − 3/2√2 − 3/2√2
PF’ = 6√2 − 6/2√2
PF’ = 6√2 − 3√2
PF’ = 3√2 cm

Mencari panjang PQ:
PQ2 = F’P2 + F’Q2
PQ2 =(3√2)2 + 62
PQ2 = 9×2 + 36
PQ2 = 18 + 36
PQ = √54
PQ = √(9×6)
PQ = √9×√6} = PQ = 3√6 cm

Perhatikan kembali gambar berikut!

Mencari panjang DP:
DP2 = HP2 + HD2
DP2 = (3/2√2)2 + 62
DP2 = 18/4 + 36
DP2 = 18/4 + 144/4
DP2 = 162/4
DP = √162/√4
DP = √(81×2)/2
DP = 9√2)/= 9/2√2 cm

Selanjutnya perhatikan gambar berikut!

Mencari panjang DO:


Mencari panjang QR:
Berdasarkan luas segitiga akan diperoleh hasil dari QR seperti terlihat pada cara berikut.

Jadi jarak garis PQ ke bidang DRS adalah QR = 6 cm.

Jawaban: C

Jarak Bidang ke Bidang

Jarak antara dua bidang atau jarak bidang ke bidang adalah panjang ruas garis yang saling tegak lurus pada kedua bidang tersebut. Sama seperti pembahasan sebelumnya, sobat idschool perlu melakukan proyeksi titik yang merupakan bagian dari satu bidang ke titik lain yang merupakan bagian dari bidang ke dua.

Sehingga, jika kedua titik tersebut ditarik garis lurus akan saling tegak lurus dengan kedua bidang. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah.

Berikut ini akan diberikan contoh soal bidang ke bidang.

Contoh Soal dan Pembahasan Jarak Bidang ke Bidang

Diketahui panjang sebuah rusuk kubus adalah 8 cm. Titik P, titik Q, titik R, dan titik S berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan HG. Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah ….
A.     16 cm
B.     14 cm
C.     12 cm
D.     10 cm
E.     8 cm

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan pada soal dapat diperoleh gambar dengan keterangan seperti terlihat pada gambar di bawah.

Jarak bidang FPQ ke bidang DRS sama dengan jarak titik ML. Sebelum menentukan nilai ML diperlukan beberapa langkah perhitungan terlebih dahulu seperti langkah-langkah berikut.

Sebelumnya, tentukan nilai PB = BQ = 1/2 × panjang rusuk kubus = 1/2 × 8 = 4 cm
PQ2 = BP2 + BQ2
PQ2 = 42 + 42
PQ2 = 16 + 16
PQ = √(16 × 2)
PQ = √16 × √2
PQ = 4√2 cm

Perhatikan bahwa segitiga PBQ adalah segitiga sama kaki, sehingga BM merupakan garis tinggi dan garis berat adalah garis PQ. Jadi PM = MQ = 1/2PQ = 1/2 × 4√2 = 2√2 cm.

Mencari panjang BM (Perhatikan segitiga BMQ siku-siku di M):
BM2 = BQ2 − QM2
BM2 = 42 − (2√2)2
BM2 = 16 − 4×2
BM2 = 16 − 8 = 8

Menentukan nilai BM:
BM = √8
BM = √(4 × 2)
BM = √4 × √2 = 2√2 cm

Mencari panjang FM (Perhatikan segitiga FBM siku-siku di B):
FM2 = BM+ BF2
FM2 = (2√2)2 + 82
FM2 = 8 + 64
FM2 = 72
FM = √72
FM = √72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2 cm

Mencari panjang BD:
BD = diagonal sisi = panjang rusuk√2 = 8√2 cm

Mencari Panjang DM:
DM = BD – BM
DM = 8√ 2 – 2√ 2 = 6 √2 cm

Perhatikan jajar genjang DMFK yang diambil dari gambar kubus sebelumnya.

Keterangan:
DM = FK = 6√2 cm
DK = FM = 6√2 cm
TK = BF = 8 cm

Mencari panjang ML:
DK × ML = DM × KT
ML = DM × KT/DK
ML = 6√2×8/6√2 = 8 cm

Jadi jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah 8 cm.

Jawaban: E

Sekian pembahasan mengenai materi jarak pada dimensi tiga yang meliputi jarak titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak garis ke garis, jarak garis ke bidang, dan jarak bidang ke bidang. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Pengantar Dimensi Tiga (Bangun Ruang)

2 comments

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.