3 Bentuk Persamaan Lingkaran

Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tertentu O. Titik O merupakan pusat lingkaran dan jarak setiap himpunan titik-titik ke titik O disebut jari-jari lingkaran. Lingkaran memiliki bentuk persamaan yang teridiri dari dua variaibel dengan pangkat tertingginya adalah 2. Melalui persamaan lingkaran, sobat idschool dapat mengetahui letak titik koordinat pusat lingkaran dan panjang jari-jari lingkaran.

Materi tentang lingkaran sudah mulai diperkenalkan sejak sekolah dasar, seperti bagaimana cara mencari rumus luas lingkaran atau keliling lingkaran. Kemudian di tingkat menengah diperkenalkan lagi materi lingkaran yang lebih luas lagi seperti panjang busur, luas juring dan luas tembereng yang menjadi bagian dari lingkaran. Berlanjut ke tingkat atas, materi lingkaran berlanjut dengan materi yang lebih banyak dan kompleks seperti pada persamaan lingkaran. Di mana persamaan lingkaran mewakili bentuk matematis dari suatu lingkaran yang digambarkan pada bidang dua dimensi.

Persamaan Lingkaran Pusat O(0, 0) dan berjari-jari r

Untuk pembahasan yang pertama, diawali dengan persamaan pada lingkaran dengan pusat O dan panjang jari-jari sama dengan r. Titik O merupakan perpotongan antara sumbu x dan sumbu y, dinyatakan melalui koordinat (0, 0). Letak lingkaran dapat terlihat seperti gambar di bawah.

persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r

Bentuk umum persamaan lingkaran yang terletak pada pusat O(0, 0) dan jari-jari r: adalah x² + y² = r²

Persamaan Lingkaran Pusat P(a,b) dan berjari-jari r

Persamaan untuk lingkaran bentuk kedua digunakan untuk lingkaran yang memiliki titik pusat (a, b) dan panjang jari-jari r. Contoh gambaran bentuk lingkaran dengan pusat (a, d) dengan jari-jari r dapat dilihat seperti berikut.

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r: (x − a)² + (y − b)² = r²

Bentuk Persamaan Umum Lingkaran

Selain dua bentuk umum persamaan lingkaran yang diberikan di atas, ada bentuk persamaan yang diperoleh dari penjabaran kedua bentuk umum persamaan atas.

Rumus umum persamaan lingkaran: x² + y² + Ax + By + C = 0

Pusat dan jari-jari lingkaran sama dengan persamaan di bawah.

NOTE:

Jika diketahui pusat lingkaran adalah (x₁, y₁) dan garis singgung Ax + By + C = 0, maka jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus jarak titik ke garis (d).

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah bahasan pemahaman di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah ….
A. x² + y² + 2x + 4y − 27 = 0
B. x² + y² + 2x − 4y − 27 = 0
C. x² + y² + 2x − 4y − 32 = 0
D. x² + y² − 4x − 2y − 32 = 0
E. x² + y² − 4x + 2y − 7 = 0

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus jarak titik pusat (−1, 2) ke garis x + y + 7 = 0 melalui rumus berikut.

Mencari persamaan untuk lingkaran dengan pusat (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 :
x² +2x + 1 +y² − 4y + 4 = 32
x² + y² + 2x − 4y − 27 = 0

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal Lingkaran

Persamaan lingkaran yang sepusat dengan x² + y² + 6x − 4y − 3 = 0 dan melalui titik (2, 3) adalah ….
A. x² + y² + 6x − 4y − 13 = 0
B. x² + y² + 6x − 4y + 13 = 0
C. x² + y² − 4x + 6y − 23 = 0
D. x² + y² − 4x + 6y − 20 = 0
E. x² + y² + 4x − 6y + 23 = 0

Pembahasan:

Menentukan pusat lingkaran x² + y² + 6x − 4y − 3 = 0:
P(−¹/₂A, −¹/₂B) = P(−¹/₂×6, −¹/₂×(−4))
P(−¹/₂A, −¹/₂B) = P( −3, 2)

Menghitung kuadrat jari-jari lingkaran dengan pusat P( −3, 2) dan melalui titik (2, 3) :
r² = (x₁ − a)² + (y₁ − b)²
r² = (2 − (−3))² + (3 − 2)²
r² = 25 + 1 = 26

Menentukan persamaan umum untuk lingkaran dengan pusat P( −3, 2) dan r² = 26:
(x − a)² + (y − b)² = r²
(x − (−3) )² + (y − 2)² = 26
(x + 3 )² + (y − 2)² = 26
x² + 6x + 9 + y² − 4y + 4 = 26
x² + y² + 6x − 4y − 13 = 0

Jawaban: A

Sekian ulasan mengenai persamaan lingkaran yang meliputi tiga bentuk umum persamaan bergantung pusat dan panjang jari-jari. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Persamaan Lingkaran

Table of Contents