Pesamaan Lingkaran

By | July 13, 2017

Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tertentu O. Titik O merupakan pusat lingkaran dan jarak setiap himpunan titik-titik ke titik O disebut jari-jari lingkaran. Selain dalam bentuk gambar, dalam matematika, lingkaran dapat diberikan melalui bentuk persamaan. Melalui bentuk umum persamaan lingkaran, sobat idschool dapat mengetahui letak titik koordinat pusat lingkaran dan panjang jari-jari lingkaran. Melaui persamaan lingkaran ini juga, dapat diketahui kedudukan antara dua lingkaran, apakah saling lepas, menyinggung di satu titik, atau berpotongan di satu titik.

Saat Sekolah Dasar, sobat idSCHOOL mempelajari cara mencari rumus luas lingkaran. Kemudian di Sekolah Menengah Pertama, materi yang diberikan mengenai panjang busur, luas juring, luas tembereng, dan lain sebagainya.

 

Persamaan lingkaran dapat dinyatakan dalam beberapa persamaan bergantung letak titik pusat dan panjang jari-jari. Simak lebih lanjut pembahasannya pada uraian materi dibawah.

 

Persamaan Lingkaran Pusat O (0, 0) dan berjari-jari r

Untuk pembahasan yang pertama, diawali dengan persamaan lingkaran dengan pusat O dan panjang jari-jari sama dengan r. Titik O merupakan perpotongan antara sumbu x dan sumbu y, dinyatakan melalui koordinat (0, 0). Letak lingkaran dapat terlihat seperti gambar di bawah.

persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r

Bentuk umum persamaan lingkaran yang sesuai dengan kondidi seperti gambar di atas dinyatakan melalui persamaan di bawah.

    \[ \textrm{x}^{2} + \textrm{y}^{2} = \textrm{r}^{2} \]

 

Persamaan Lingkaran Pusat P(a,b) dan berjari-jari r

Untuk pembahasan yang ke dua, persamaan lingkaran yang akan dibahas adalah lingkran yang memiliki titik pusat terletak di titik P(a, b). Panjang jari-jarinya adalah r. Kondisi lingkaran terlihat seperti gambar di bawah.

persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r dinyatakan melalui persamaan di bawah.

    \[ \textrm{(x} - \textrm{a)}^{2} +\textrm{(y}- \textrm{b)}^{2} = \textrm{r}^{2} \]

Dua bentuk persamaan lingkaran di atas sudah dapat mewakili persamaan lingkaran, lingkaran dengan pusat O dan lingkaran dengan pusat P. Namun, ada bentuk umum persamaan lingkaran lagi yang perlu sobat idschool ketahui.

 

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Selain dua bentuk umum persamaan lingkaran yang diberikan di atas, ada bentuk persamaan lingkaran yang diperoleh dari penjabaran bentuk umum persamaan lingkaran di atas. Bentuk umum persamaan lingkaran ini juga memuat informasi tentang persamaan letak titik koordinat pusat lingkaran dan panjang jari-jari.

Rumus umum persamaan lingkaran yang ke tiga dinyatakan melalui persamaan berikut.

    \[ \textrm{x}^{2} + \textrm{y}^{2} + \textrm{Ax} + \textrm{By} + C = 0 \]

Dengan:

    \[ \textrm{Pusat Lingkaran = } \left( -\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B \right) \]

    \[\textrm{Jari-jari (r) = } \sqrt{\left( - \frac{1}{2}A \right)^{2} + \left( - \frac{1}{2}B \right)^{2} - \textrm{C}} \]

 

NOTE

Baca Juga: Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Jika diketahui pusat lingkaran adalah (x_{1}, y_{1}) dan garis singgung Ax + By + C = 0, maka jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus jarak titik ke garis, yaitu

    \[ \textrm{d = } \frac{\textrm{Ax}_{1} + \textrm{By}_{1}+C}{\sqrt{\textrm{A}^{2} + \textrm{B}^{2}}} \]

 

Contoh Soal dan Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah …. (SOAL UN MATEMATIKA IPA 2016
)

    \[  \textrm{A.} \; \; \;  x^{2} + y^{2} + 2x + 4y - 27 = 0 \]

    \[  \textrm{B.} \; \; \;  x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 27 = 0 \]

    \[  \textrm{C.} \; \; \;  x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 32 = 0 \]

    \[  \textrm{D.} \; \; \;  x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 32 = 0 \]

    \[  \textrm{E.} \; \; \;  x^{2} + y^{2} - 4x + 2y - 7 = 0 \]

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus jarak titik pusat (-1, 2) ke garis x + y + 7 = 0 melalui rumus berikut.

    \[ \textrm{r = }  \left| \frac{1(-1) + 1(2) + 7}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} \right| \]

    \[ \textrm{r = } \left| \frac{-1 + 2 + 7}{\sqrt{1 + 1}} \right| = \frac{8}{\sqrt{2}} \]

Sehingga, persamaan lingkarannya menjadi

    \[(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = \left( \frac{8}{\sqrt{2}} \right)^{2} \]

    \[x^{2} +2x + 1 +y^{2} - 4y + 4 = 32 \]

    \[x^{2} + y^{2} + 2x -4y - 27 = 0 \]

Jawaban: B

Sekian ulasan mengenai persamaan lingkaran, meliputi bentuk umum persamaan lingkaran dengan berbagai kriteria. Meliputi, persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r, persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r, serta bentuk umum persamaan lingkaran. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Cara Mencari Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik