Sifat-Sifat Notasi Sigma (Matematika Kelas XI) dan Contoh Soalnya

Notasi sigma adalah simbol yang digunakan untuk menjumlahkan sejumlah bilangan yang membentuk suatu pola bilangan. Simbol untuk notasi sigma adalah Ʃ. Untuk penjumlahan suku ke-i sampai dengan suku ke n dapat dinyatakan dalam notasi Ʃⁿ_i=1 U_i = U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n. Sebaliknya juga berlaku, deret U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n dapat dinyatakan dalam notasi Ʃⁿ_i=1 U_i.

Cakupan materi notasi sigma memiliki hubungan dengan materi barisan dan deret. Di mana rumus-rumus pada barisan dan deret aritmatika atau geometri berlaku di sini. Sobat idschool dapat mencari tahu bagaimana penggunaan rumus dan sifat notasi sigma melalui ulasan di bawah.

Bentuk Notasi Sigma

Penjumlahan bilangan-bilangan dengan suatu pola tertentu akan membentuk sebuah deret. Sebagai contoh, deret dari barisan adalah U₁, U₂, U₃, …, U_n adalah U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n. Di mana U₁, U₂, U₃, …, U_n adalah suku-suku bilangan yang membentuk suatu pola tertentu.

Secara umum, bentuk deret U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n dapat dinyatakan dalam sebuah notasi sigma yaitu U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n = Ʃⁿ_i=1 U_i.

Misalnya pada penjumlahan 20 bilangan asli ganjil yaitu 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39. Notasi sigma yang menyatakan penjumlahan 20 bilangan asli ganjil pertama adalah Ʃⁿ_i=1 (2i − 1).

Contoh bagaimana melakukan operasi bilangan dengan notasi Ʃ terdapat pada penyelesaian soal berikut.

Soal:
Hasil dari Ʃ¹⁰_i=1 (2i + 3) adalah ….

Jawab:
Bentuk Ʃ¹⁰_i=1 (2i + 3) dapat dinyatakan dalam sebuah deret yang terdiri dari penjumlahan sepuluh bilangan.

Suku pertama diperoleh dengan cara substitusi nilai i = 1 pada rumus 2i + 3. Suku kedua diperoleh dengan cara substitusi nilai i = 2 pada rumus 2i + 3. Begitu seterusnya sampai i = n = 10.

Dari hasil perhitungan dapat diperoleh deret Ʃ¹⁰_i=1 (2i + 3) = 5 + 7 + 9 + … + 23. Dari deret tersebut dapat diketahui bahwa bilangan-bilangan membentuk deret aritmatika karena setiap kenaikan sukunya memiliki nilai beda yang sama yaitu 2.

Hasil dari Ʃ¹⁰_i=1 (2i + 3) sama dengan jumlah 10 suku pertama dari deret 5 + 7 + 9 + … + 23. Di mana suku pertama deret aritmatika tersebut adalah U₁ = a = 5 dan suku kesepuluhnya adalah U₁₀ = 23.

Rumus Sn deret Aritmatika:

Sehingga, Ʃ¹⁰_i=1 (2i + 3) = S₁₀ = jumlah 10 suku pertama deret aritmatika 5 + 7 + 9 + … + 23 dapat dihitung seperti langkah penyelesaian berikut.

Menentukan nilai S₁₀:

Jadi, hasil dari Ʃ¹⁰_i=1 (2i + 3) = 5 + 7 + 9 + … + 23 = 140.

Baca Juga: Rumus dan Materi Induksi Matematika

Sifat-Sifat Notasi Sigma

Sifat-sifat notasi sigma merupakan persamaan yang menjadi rumus notasi Ʃ. Rumus tersebut digunakan untuk melakukan operasi hitung bilangan dengan notasi sigma.

Ada beberapa sifat notasi sigma yang dapat digunakan untuk melakukan operasi hitung. Beberapa sifat terdapat pada persamaan-persamaan berikut.

Sifat-sifat notasi sigma:

Bagaimana contoh penggunaan beberapa sifat notasi sigma di atas terdapat pada operasi-operasi hitung berikut.

• Ʃ⁶_i=1 (2n − 1) = ….
  Ʃ⁶_i=1 (2n − 1) = (2×1 − 1) + (2×2 − 1 + (2×3 − 1) + (2×4 − 1) + (2×5 − 1) + (2×6 − 1)
  = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
  Jadi, Ʃ⁶_i=1 (2n − 1) = 36

• Ʃ⁴_i=1 (n + 3) = ….
  Ʃ⁴_i=1 (n + 3) = Ʃ⁴_i=1 n + Ʃ⁴_i=1 3
  = (1 + 2 + 3 + 4) + 4×3
  = 10 + 12
  = 22
  Jadi, Ʃ⁴_i=1 (n + 3) = 22

• Ʃ⁸_i=3 (3n + 7) = ….
  Ʃ⁸_i=3 (3n+7) = Ʃ⁸⁻²_i=3−1 (3(n+2)+7)
  = Ʃ⁶_i=1 (3n + 6 + 7) = Ʃ⁶_i=1 (3n + 13)
  = Ʃ⁶_i=1 3n + Ʃ⁶_i=1 13
  = (3×1 + 3×2 + 3×3 + 3×4 + 3×5 + 3×6) + (13×6)
  = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 78 = 123
  Jadi, Ʃ⁸_i=3 (3n + 7) = 123

Baca Juga: Rumus Barisa Aritmatika dan Geometri

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman materi di atas. Setiap contoh soal yang diberikan terdapat pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Menentukan notasi sigma yang ekuivalen

Notasi sigma untuk p¹⁰ + p⁹q + p⁸q² + … + q¹⁰ adalah ….
A. Ʃ¹⁰_i=0 p^10-i q^i-1
B. Ʃ¹¹_i=1 p^11-i q^i-1
C. Ʃ¹⁰_i=1 pⁱ q^10-i
D. Ʃ¹¹_i=1 p^i-1 q^11-i
E. Ʃ¹⁰_i=1 pⁱ qⁱ

Pembahasan:
Pola deret pada soal adalah pangkat p berkurang satu dan pangkat q bertambah 1 untuk setiap kenaikan suku. Dengan suku pertama deret adalah p¹⁰ = p¹⁰ • q⁰, untuk suku kedua deret menjadi p^10-1 • q¹ = p⁹ • q.

Perhatikan bahwa pangkat p membentuk barisan i = 10, 9, 8, … 0. Sebaliknya, pangkat q membentuk barisan i = 0, 1, 2, 3, …, 10.

Sehingga,
p¹⁰ + p⁹q + … + q¹⁰ = Ʃ¹⁰_i=0 p^{10 – i} qⁱ
= Ʃ¹⁰⁺¹_i=0+1 p^10–(i–1) q^i–1
= Ʃ¹¹_i=1 p^10–i+1 q^i–1
= Ʃ¹¹_i=1 p^11–i q^i–1

Jadi, deret p¹⁰ + p⁹q + p⁸q² + … + q¹⁰ dapat dinyatakan dalam notasi Ʃ¹¹_i=1 p^11-i q^i-1 .

Jawaban: B

Contoh 2 – Menentukan notasi Ʃ yang ekuivalen

Notasi sigma yang tepat untuk menyatakan jumlah 3 + 6 + 9 + … + 69 adalah …
A. Ʃ²²_n=0 3n
B. Ʃ²²_n= 3n
C. Ʃ²³_n=1 3n
D. Ʃ²²_n=1 3ⁿ
E. Ʃ²³_n=1 3ⁿ

Pembahasan:
3 + 6 + 9 + … + 69
= 3(1 + 2 + 3 + … + 23)
= 3 ∙ Ʃ²³_n=1 n
= Ʃ²³_n=1 3n

Jadi, notasi sigma yang tepat untuk menyatakan jumlah 3 + 6 + 9 + … + 69 adalah Ʃ²³_n=1 3n.

Jawaban: C

Contoh 3 – Penggunaan Sifat Notasi Ʃ

Jika Ʃ⁴_i=1 x_i = 3 maka Ʃ⁶_i=3 (1 − x_{i – 2}) = ….
A. 1
B. 2
C. x
D. 2x
E. 3x

Pembahasan:
Hasil dari persamaan Ʃ⁶_i=3 (1 − x_{i – 2}) dapat diselesaikan dengan cara berikut.

Jadi, Ʃ⁶_i=3 (1 − x_{i – 2}) = 1.

Jawaban: A

Demikianlah tadi ulasan rumus dan sifat notasi sigma serta contoh soal dan pembahasannya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika