Rumus Jarak Titik ke Garis yang Diketahui Persamaannya

Jarak titik ke garis sama dengan jarak titik ke proyeksi titik tersebut pada garis. Rumus jarak titik ke garis digunakan saat diketahui letak koordinat sebuah titik dan persamaan garis. Di mana, letak koordinat titik dinyatakan dalam pasangan bilangan absis (x) dan ordinat yaitu P(x, y). Sedangkan persamaan garis memiliki bentuk persamaan umum ax + by + c = 0 atau y = mx + c. Sobat idschool dapat menghitung panjang ruas garis yang menghubungkan jarak titik dengan garis melalui rumus jarak titik ke garis seperti pada bahasan di bawah.

Sebagai contoh, diketahui titik P terletak pada koordinat (3, 4) dan sebuah garis memiliki persamaan g: 3x + y + 12 = 0. Berapakah jarak titik P(3, 4) ke garis 3x + y + 6 = 0?

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabalo

Untuk mengetahui berapa jarak titik P ke garis g dapat diperoleh menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bagaimana bentuk rumus jarak titik ke garis? Bagaimana penggunaan rumus jarak titik ke garis? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

Bentuk Umum Rumus Jarak titik ke Persamaan Garis

Jarak titik ke titik menyatakan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Sedangkan jarak titik ke garis sama dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik ke proyeksi titik tersebut pada garis.

Proyeksi adalah penarikan bayangan ke suatu bidang dengan arah tegak lurus dengan bidang tersebut. Sehingga proyeksi titik ke garis adalah penarikan titik ke garis dengan arah tegak lurus garis. Panjang ruas garis yang menghubungkan titik dengan proyeksi titik pada garis sama dengan jarak titik ke garis.

Ruas garis yang menghubungkan titik dan titik proyeksinya akan saling tegak lurus dengan garis. Ruas garis lain yang menghubungkan titik ke garis dengan arah tidak tegak lurus bukan merupakan jarak titik ke garis.

Letak titik pada bidang koordinat dinyatakan dalam pasangan dua bilangan berurutan yang disebut absis (sumbu x) dan ordinat (sumbu y). Sedangkan sebuah garis memiliki bentuk persamaan linear dengan dua variabel seperti ax + by + c = 0. Rumus jarak titik ke persaman garis sesuai dengan bentuk umum berikut.

Baca Juga: 3 Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunaka untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Penggunaan Rumus Jarak Titik ke Garis

Sebuah garis terletak pada bidang datar dengan persamaan ℓ: 3x + 4y = 15. Jika titik P(‒5, 5) terletak pada bidang yang sama dengan garis ℓ maka jarak titik P ke garis ℓ adalah … satuan
A. 8
B. 6
C. 4
D. 3
E. 2

Pembahasan:
Jarak titik P(‒5, 5) ke garis ℓ: 3x + 4y = 15 dapat dicari menggunakan rumus jarak titik ke garis seperti penyelesaian pada cara berikut.

Jadi, jarak titik P(‒5, 5) ke garis ℓ: 3x + 4y = 15 adalah 2 satuan.

Jawaban: E

Contoh 2 – Penggunaan Rumus Jarak Titik ke Garis pada Lingkaran

Persamaan lingkaran dengan pusat di titik (2, ‒3) dan menyinggung garis x = 5 adalah ….
A. x2 + y2 + 4x ‒ 6y + 9 = 0
B. x2 + y2 ‒ 4x + 6y + 9 = 0
C. x2 + y2 ‒ 4x + 6y + 4 = 0
D. x2 + y2 ‒ 4x ‒ 6y + 9 = 0
E. x2 + y2 + 4x ‒ 6y + 4 = 0

Pembahasan:
Diketahui sebuah lingkaran dengan titik pusat (2, ‒3) dengan jari-jari yang belum diketahui. Keterangan lain yang diberikan adalah lingkaran tersebut meyinggung garis x = 5.

Garis yang menyinggung lingkaran memotong lingkaran pada satu titik, di mana titik tersebut berada pada busur lingkaran. Di mana, jari-jari lingkaran dan garis yang menyinggung lingkaran selalu tegak lurus. Artinya jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung lingkaran sama dengan panjang jari-jari lingkaran.

Dengan demikian, jari-jari lingkaran dapat diperoleh dengan menghitung jarak titik P(2, ‒3) ke garis x = 5. Cara menghitung jarak titik P(2, ‒3) ke garis x = 5 dan cara menentukan persamaan lingkaran diselesaikan seperti pada penyelesaian berikut.

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di titik (2, ‒3) dan menyinggung garis x = 5 adalah x2 + y2 ‒ 4x + 6y + 4 = 0.

Jawaban: C

Contoh 3 – Penggunaan Rumus Jarak Titik ke Garis pada Lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (‒1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah ….
A. x2 + y2 + 2x + 4y ‒ 27 = 0
B. x2 + y2 + 2x ‒ 4y ‒ 27 = 0
C. x2 + y2 + 2x ‒ 4y ‒ 32 = 0
D. x2 + y2 ‒ 4x ‒ 2y ‒ 32 = 0
E. x2 + y2 ‒ 4x + 2y ‒ 7 = 0

Pembahasan:
Persamaan lingkaran dapat dibentuk dari pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Dari informasi yang diberikan pada soal diketahui bahwa lingkaran terletak pada titik (‒1, 2) dengan jari-jari yang belum di ketahui. Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan melalui rumus jarak titik ker garis yaitu untuk titik (‒1, 2) dan garis x + y + 7 = 0.

Menghitung jarak titik (‒1, 2) ke garis x + y + 7 = 0:

Sehingga diperoleh panjang jari-jari lingkara = jarak titik  (‒1, 2) ke garis x + y + 7 = 0 sama dengan r = 4√2 satuan. Selanjutnya adalah menentukan persamaan lingkaran dengan titik pusat  (‒1, 2) dengan jari-jari r = 4√2 satuan.

Persamaan lingkaran [P(‒1, 2); r = 4√2]:
(x ‒ (‒1))2 + (y ‒ 2)2 = (4√2)2
(x + 1)2 + (y ‒ 2)2 = 42 × (√2)2
x2 + 2x + 1 + y2 ‒ 4y + 4 = 16 × 2
x2 + y2 + 2x ‒ 4y + 1 + 4 = 32
x2 + y2 + 2x ‒ 4y + 5 ‒ 32 = 0
x2 + y2 + 2x ‒ 4y ‒ 27 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di titik (‒1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah x2 + y2 + 2x ‒ 4y ‒ 27 = 0.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan rumus jarak titik ke garis beserta contoh penggunannya dalam menyelesaikan soal. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Lingkaran yang Diktahui Koordinat 3 Titik yang Terletak pada Busur Lingkaran

Leave a Reply

Your email address will not be published.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.