Rumus pada Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi )

Transformasi dapat diartikan sebagai perubahan. Sehingga, transformasi geometri dapat didefinisikan sebagai perpindahan benda dalam ruang lingkup geometri. Di bangku SMA, materi transformasi geometri diberikan saat kelas XII. Dalam pembahasan di halaman ini, penjabaran yang akan diuraikan meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Materi yang akan dibahas meliputi ilustrasi perubahan dan rumus transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, rotasi, dilatasi.

Rumus pada transformasi geometri akan memudahkan sobat untuk menentukan hasil transformasi tanpa harus menggambarnya dalam bidang kartesius terlebih dahulu. Meskipun begitu, ilustrasi gambar tentang transformasi juga dapat memberikan tambahan pemahaman buat sobat idschool. Untuk itu, mari simak pembahasan mengenai translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi pada penjabaran materi di bawah.

Baca Juga: Komposisi Transformasi Geometri dengan Matriks

Translasi (Pergeseran)

Materi pertama tentang rumus transformasi geometri yang akan dibahas adalah translasi (pergeseran). Translasi merupakan perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu. Penentuan hasil objek melalui translasi cukup mudah. Caranya hanya dengan menambahkan absis dan ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan. Untuk lebih jelasnya mengenai proses translasi dapat dilihat pada gambar di bawah.

Translasi pada Transformasi Geometri

Refleksi (Pencerminan)

Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Seperti halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada tujuh jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k.

Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi pada refleksi/pencerminan.

Transformasi Geometri

Selanjutnya, mari perhatikan uraian matriks transformasi untuk setiap jenisnya.

Pencerminan terhadap sumbu x

Pada pencerminan terhadap sumbu x, nilai absis tetap dan ordinat menjadi kebalikannya.

Pencerminan Terhadap Sumbu X

Baca Juga: Pembuktian Rumus dengan Induksi Matematika

Pencerminan Terhadap Sumbu y

Pencerminan terhadap sumbu y, merupakan kebalikan dari pencerminan terhadap sumbu x. Di mana nilai absis menjadi kebalikannya dan nilai ordinatnya tetap.

Rumus pencerminan terhadap sumbu y

Pencerminan terhadap Garis y = x

Pada pencerminan terhadap garis y = x akan mengakibatkan nilai absis menjadi ordinat. Begitu juga, nilai ordinat akan menjadi absis.

Rumus pencerminan terhadap garis y = x

Pencerminan terhadap Garis y = – x 

Pencerminan terhadap garis y = – x akan membuat nilai absis menjadi kebalikan dari ordinat. Sedangkan nilai ordinat akan menjadi kebalikan dari absis.

Transformasi Geomteri Refleksi terhadap garis y = -x

Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)

Pencerminan pada titik asal artinya melakukan pencerminan terhadap titik O (0,0). Hasil pencerminan terhadap titik asal adalah nilai absis dan ordinat menjadi kebalikannya.

Rumus pencerminan terhadap titik asal

Pencerminan terhadap Garis x = h

Pencerminan terhadap garis x = h akan membuat titik absis bergeser sejauh 2h. Sedangkan nilai titik ordinatnya tetap.

Rumus pencerminan terhadap garis x = h

Pencerminan terhadap Garis y = k

Pencerminan terhadap garis y = k akan membuat titik ordinatnya bergeser sejauh 2k. Sedangkan nilai titik absisnya tetap.

Transformasi geometri - Pencerminan Terhadap Garis y = k

Baca Juga: Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks

Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar α disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah –α. Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi.

Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar 135o dengan pusat O(0,0) pada gambar di bawah.

Transformasi Geometri Rotasi

Mendapatkan hasil rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dahulu akan sangat tidak efektif. Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil objek hasil rotasi, yaitu dengan menggunakan rumus transformasi geometri untuk rotasi. Simak lebih lanjut rumusnya pada pembahasan di bawah.

Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α

Rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α derajat akan memutar titik koordinatnya sebesar α berlawanan arah jarum jam. Untuk mendapatkan titik bayangan dapat menggunakan persamaan matrik transformasi rotasi berikut.

Rumus rotasi dengan pusat O

Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar α

Prinsip pada rotasi dengan pusat P(m,m) sebesar α sama dengan rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α. Arah rotasinya berlawanan arah jarum jam. Yang menjadi pembeda adalah titik pusat rotasinya. Persamaan matrik transformasi rotasi untuk menentukan bayangannya adalah sebagai berikut.

Rumus Rotasi dengan sudut putar P

Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar α kemudian sebesar β

Rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali. Berikut ini adalah matrik rotasi untuk menentukan bayangan oleh rotasi dengan pusat O(0,0). Rotasi pertama sebesar α derajat. Selanjutnya adalah rotasi sebesar β derajat.

Rotasi dua sudut dengan pusat O

Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar α kemudian sebesar β

Selain itu, rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali dengan pusat rotasi pada titik P. Berikut ini adalah matrik rotasi untuk menentukan bayangan oleh rotasi dengan pusat P(m,m). Rotasi dilakukan berturut – turut untuk sudut α dilanjutkan β derajat.

Rotasi dua sudut dengan pusat P

Baca Juga: Transpose Matriks dan Sifat-Sifatnya

Dilatasi

Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda.

Ukuran benda hasil dilatasi dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Selanjutnya perhatikan uraian rumus untuk transformasi geometri pada dilatasi di bawah.

Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m

Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat O(0,0), dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.

Rumus dilatasi pusat O

Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) dengan faktor skala m

Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.

Rumus dilatasi dengan pusat P

Baca Juga: Kenali Bentuk Integral dan Gunakan Rumus Integral secara Tepat (Integral Substitusi dan Parsial)

Contoh Soal dan Pembahasan

Melalui beberapa contoh soal di bawah sobat idschool dapat melatih pemahaman materi ini. Contoh soal berikut meliputi soal translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Setiap contoh soal yang diberikan disertai dengan pembahasan soalnya. Sobat idschool dapat menjadikan pembahasan soal tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal Translasi

Contoh 1 Soal Transformasi Geometri - Translasi

Pembahasan:

Misalkan:

    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \]

Maka,

    \[ T_{2} \bullet T_{1} = \begin{pmatrix} a + 4 \\ b + 1 \end{pmatrix} \]

Perhatikan proses translasi berikut.

Contoh soal dan pembahasan translasi

Mencari nilai a:
3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:
-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T1 adalah

    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

    \[ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]

adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:

Pertama, cari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x.

Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:

Contoh soal dan pembahasan refleksi

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
– x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

    \[ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Perhatikan langkah – langkahnya seperti berikut,

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y' \\ -x' + y' \end{pmatrix} \]

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

–3x’ + 2y’ = x’’
– x’ + y’ = y’’

Berikutnya, akan dicari persamaan yang senilai dengan x’ dan y’:

Mencari nilai x’:

Metode eliminasi variabel

Mencari nilai y’:

Metode eliminasi variabel

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan  – x’ + 3y’– 11 = 0:
-x’ + 3y’ – 11 = 0
-(2y’’ – x’’) + 3( 3y’’ – x’’ ) – 11 = 0
-2y’’ + x’’ + 9y’’ – 3x’’ – 11 = 0
-2x’’ + 7y’’ – 11 = 0
2x’’ – 7y’’ + 11 = 0

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat dari Gambar

Contoh 3 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Rotasi

Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah ….
A. 2x – y – 4 = 0
B. x – 2y – 4 = 0
C. x – 2y – 2 = 0
D. 2x – y + 2 = 0
E. 2x – y – 4 = 0

Pembahasan:

Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

x – 2y – 2 = 0
– x’ – 2y’ – 2 = 0

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90o yang berpusat di O(0, 0):

Pembahasan Contoh 3 Soal Transformasi Geometri

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan –x’ – 2y’ – 2 = 0:

– x’ – 2y’ – 2 = 0
– y’’ – 2(–x’’) – 2 = 0
– y’’ + 2x’’ – 2 = 0
2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D

Contoh 4 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Dilatasi

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

Pembahasan Contoh 4 Soal Transformasi Geometri

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

  • a = 9
  • 3b – 2 = 10
    3b = 12
    b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

Jawaban: C

Oke, sekian pembahasan mengenai rumus pada transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Komposisi transformasi geometri dengan matriks

9 comments

  1. untuk refleksi thd garis x = h, kalo menggunakan matriks hasilnya (2h – a,-b) (di tabel)
    tapi dibawahnya lagi ( di grafik) di tuliskan (2h-a, b), yg benr yang mana kak? b nya negatif atau tidak?

    1. Halo nabyllah, untuk pencerminan titik T(a, b) terhadap garis x = h akan menghasilkan bayangan titik yang memenuhi T'(2h – a, b), untuk matriks transformasi dalam tabel sudah dibenahi, terimakasih koreksinya, salam sukses selalu!

  2. Kak,maaf jawaban contoh soal yg tentang refleksi mungkin Kaka sedikit keliru itu sebenarnya -2x^double aksen bukan hnya 2x double aksen saja kaka

  3. Ka maaf sebelumnya, sepertinya ada kesalahan di soal terkahir ttg dilatasi. Pada bagian penjumlahan dengan pusat nya seharusnya ditambah (3,1) tp dibaris kedua ditulisnya (2,1) apa memang seperti itu? Soalnya saya itung hasil 5

    1. Haloo Ff, terimakasih sudah mampir di idschool, tidak perlu minta maaf, jawaban kamu benar. Ini sebagai koreksi untuk admin, terimakasih koreksinya Ff, sukses selalu!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.