Rumus pada Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi )

Transformasi geometri merupakan bahasan tentang perpindahan suatu obyek/benda dari satu titik ke titik lainnya. Jenis perpindahan dalam transformasi geometri meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Rumus pada transformasi geometri akan memudahkan sobat untuk menentukan letak atau hasil transformasi suatu obyek. Apa saja rumus pada transformasi geometri? Bagaimana penggunaan rumus pada transformasi geometri? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah,

Table of Contents

Translasi (Pergeseran)

Materi pertama tentang rumus pada transformasi geometri yang akan dibahas adalah persamaan translasi (pergeseran). Translasi merupakan perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu. Penentuan hasil objek melalui translasi cukup mudah, caranya hanya dengan menambahkan absis (x) dan ordinat (y) dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan.

Translasi pada Transformasi Geometri

Sebuah titik pada awalnya terletak pada titik P(x, y). Setelah mengalami translasi pertama, letak titik P(x, y) menjadi berada di titik P'(x + a, y + b). Translasi kedua membuat titik P(x, y) menjadi terletak pada titik P”(x + a + p, y + b + q). Sebagai contoh sederhana, translasi titik P(2, 5) oleh T(1, 4) akan merubah letak titik P menjadi berada pada titik P'(2+1. 5+4) = P'(3, 9).

Baca Juga: Komposisi Transformasi Geometri dengan Matriks

Refleksi (Pencerminan)

Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi pada bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Ada tujuh jenis sumbu yang dapat menjadi cermin antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k.

Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi geometri hasil dari refleksi/pencerminan suatu obyek,

Transformasi Geometri

Pencerminan terhadap sumbu x

Pada pencerminan terhadap sumbu x, nilai absis tetap dan ordinat menjadi kebalikannya. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(a, -b) karena pencerminan terhadap sumbu x.

Pencerminan Terhadap Sumbu X

Pencerminan Terhadap Sumbu y

Pencerminan terhadap sumbu y, merupakan kebalikan dari pencerminan terhadap sumbu x. Di mana nilai absis menjadi kebalikannya dan nilai ordinatnya tetap. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(-a, b) karena pencerminan terhadap sumbu y.

Rumus pencerminan terhadap sumbu y

Pencerminan terhadap Garis y = x

Pada pencerminan terhadap garis y = x akan mengakibatkan nilai absis menjadi ordinat dan nilai ordinat akan menjadi absis. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(b, a) karena pencerminan terhadap sumbu y = x.

Rumus pencerminan terhadap garis y = x

Baca Juga: Pembuktian Rumus dengan Induksi Matematika

Pencerminan terhadap Garis y = -x 

Pencerminan terhadap garis y = -x akan membuat nilai absis menjadi kebalikan dari ordinat, sedangkan nilai ordinat akan menjadi kebalikan dari absis. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(-b, -a) karena pencerminan terhadap sumbu y = -x.

Transformasi Geomteri Refleksi terhadap garis y = -x

Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)

Pencerminan pada titik asal artinya melakukan pencerminan terhadap titik O (0,0). Hasil pencerminan terhadap titik asal adalah nilai absis dan ordinat menjadi kebalikannya. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(-a, -b) karena pencerminan terhadap titik asal O(0, 0).

Rumus pencerminan terhadap titik asal

Pencerminan terhadap Garis x = h

Pencerminan terhadap garis x = h akan membuat titik absis bergeser sejauh 2h, sedangkan nilai titik ordinatnya tetap. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(2h – a, b) karena pencerminan terhadap sumbu x = h.

Rumus pencerminan terhadap garis x = h

Pencerminan terhadap Garis y = k

Pencerminan terhadap garis y = k akan membuat titik ordinatnya bergeser sejauh 2k, sedangkan nilai titik absisnya tetap. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(a, 2k – b) karena pencerminan terhadap sumbu y = k.

Transformasi geometri - Pencerminan Terhadap Garis y = k

Baca Juga: Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks

Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar α disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah –α. Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi.

Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar 135o dengan pusat O(0,0) pada gambar di bawah.

Transformasi Geometri Rotasi

Cara menentukan hasil rotasi suatu obyek dapat dengan menggunakan rumus pada transformasi geometri untuk rotasi seperti persamaan-persamaan di bawah.

Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α

Rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α derajat akan memutar titik koordinatnya sebesar α berlawanan arah jarum jam. Untuk mendapatkan titik bayangan dapat menggunakan persamaan matrik transformasi rotasi berikut.

Rumus rotasi dengan pusat O

Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar α

Prinsip pada rotasi dengan pusat P(m, n) sebesar α sama dengan rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar α. Arah rotasinya berlawanan arah jarum jam, yang menjadi pembeda adalah titik pusat rotasinya. Persamaan matrik transformasi rotasi untuk menentukan bayangannya adalah sebagai berikut.

Rumus Rotasi dengan sudut putar P

Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar α kemudian sebesar β

Rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali. Berikut ini adalah matrik rotasi untuk menentukan bayangan oleh rotasi dengan pusat O(0,0). Rotasi pertama sebesar α derajat. Selanjutnya adalah rotasi sebesar β derajat.

Rotasi dua sudut dengan pusat O

Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar α kemudian sebesar β

Selain itu, rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali dengan pusat rotasi pada titik P. Berikut ini adalah matrik rotasi untuk menentukan bayangan oleh rotasi dengan pusat P(m,m). Rotasi dilakukan berturut-turut untuk sudut α dilanjutkan β derajat.

Rotasi dua sudut dengan pusat P

Baca Juga: Transpose Matriks dan Sifat-Sifatnya

Dilatasi

Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda.

Ukuran benda hasil dilatasi dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Persamaan untuk menentukan hasil dilatasi suatu obyek dapat menggunakan matriks transformasi geometri berikut.

Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m

Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat O(0,0), dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.

Rumus dilatasi pusat O

Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) dengan faktor skala m

Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.

Rumus dilatasi dengan pusat P

Baca Juga: Kenali Bentuk Integral dan Gunakan Rumus Integral secara Tepat (Integral Substitusi dan Parsial)

Contoh Soal dan Pembahasan

Melalui beberapa contoh soal di bawah sobat idschool dapat melatih pemahaman materi transformasi geometri. Contoh soal berikut meliputi soal translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Setiap contoh soal yang diberikan disertai dengan pembahasan soalnya. Sobat idschool dapat menjadikan pembahasan soal tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal Translasi

Contoh 1 Soal Transformasi Geometri - Translasi

Pembahasan:

Misalkan: T1 (a, b) maka T2 • T1 = (a + 4, b + 1), selanjutnya perhatikan proses translasi berikut.

Contoh soal dan pembahasan translasi

Mencari nilai a:
3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:
-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T1 = (3, 8)

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

Persamaan matriks A:

adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:

Pertama, cari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x.

Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:

Contoh soal dan pembahasan refleksi

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
– x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A, Perhatikan langkah -langkahnya seperti pada cara berikut,

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

–3x’ + 2y’ = x’’
– x’ + y’ = y’’

Berikutnya, akan dicari persamaan yang senilai dengan x’ dan y’:

Mencari nilai x’:

Metode eliminasi variabel

Mencari nilai y’:

Metode eliminasi variabel

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan  – x’ + 3y’– 11 = 0:
-x’ + 3y’ – 11 = 0
-(2y’’ – x’’) + 3( 3y’’ – x’’ ) – 11 = 0
-2y’’ + x’’ + 9y’’ – 3x’’ – 11 = 0
-2x’’ + 7y’’ – 11 = 0
2x’’ – 7y’’ + 11 = 0

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat dari Gambar

Contoh 3 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Rotasi

Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah ….
A. 2x – y – 4 = 0
B. x – 2y – 4 = 0
C. x – 2y – 2 = 0
D. 2x – y + 2 = 0
E. 2x – y – 4 = 0

Pembahasan:

Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

x – 2y – 2 = 0
– x’ – 2y’ – 2 = 0

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90o yang berpusat di O(0, 0):

Pembahasan Contoh 3 Soal Transformasi Geometri

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan –x’ – 2y’ – 2 = 0:

– x’ – 2y’ – 2 = 0
– y’’ – 2(–x’’) – 2 = 0
– y’’ + 2x’’ – 2 = 0
2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D

Contoh 4 – Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Dilatasi

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

Pembahasan Contoh 4 Soal Transformasi Geometri

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

  • a = 9
  • 3b – 2 = 10
    3b = 12
    b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

Jawaban: C

Oke, sekian pembahasan mengenai rumus pada transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Komposisi transformasi geometri dengan matriks

9 comments

  1. untuk refleksi thd garis x = h, kalo menggunakan matriks hasilnya (2h – a,-b) (di tabel)
    tapi dibawahnya lagi ( di grafik) di tuliskan (2h-a, b), yg benr yang mana kak? b nya negatif atau tidak?

    1. Halo nabyllah, untuk pencerminan titik T(a, b) terhadap garis x = h akan menghasilkan bayangan titik yang memenuhi T'(2h – a, b), untuk matriks transformasi dalam tabel sudah dibenahi, terimakasih koreksinya, salam sukses selalu!

  2. Kak,maaf jawaban contoh soal yg tentang refleksi mungkin Kaka sedikit keliru itu sebenarnya -2x^double aksen bukan hnya 2x double aksen saja kaka

  3. Ka maaf sebelumnya, sepertinya ada kesalahan di soal terkahir ttg dilatasi. Pada bagian penjumlahan dengan pusat nya seharusnya ditambah (3,1) tp dibaris kedua ditulisnya (2,1) apa memang seperti itu? Soalnya saya itung hasil 5

    1. Haloo Ff, terimakasih sudah mampir di idschool, tidak perlu minta maaf, jawaban kamu benar. Ini sebagai koreksi untuk admin, terimakasih koreksinya Ff, sukses selalu!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.