Rumus Transformasi Geometri Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi

Transformasi geometri adalah perubahan bentuk dari obyek geometri yang dapat berupa titik, garis, atau bangun. Ada 4 jenis transformasi geometri yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian). Transformasi geometri dapat merubah kedudukan obyek geometri.

Translasi sebuah titik A(x, y) akan membuat titik tersebut bergeser menjadi A'(x’ y’). Refleksi sebuah titik A'(x’, y’) akan membuat titik memiliki koordinat A”(x”, y”).

Garis adalah obyek geometri yang terdiri dari himpunan titik-titik lebih dari satu. Sehingga transformasi geometri pada garis dilakukan untuk setiap titik-titik penyusunnya. Cara yang sama juga berlaku untuk transformasi geometri pada bidang.

Rumus transformasi geometri akan memudahkan sobat idschool menentukan letak koordinatnya. Bagaimana rumus transformasi geometri untuk translasi? Bagaimana rumus transformasi geometri untuk refleksi, rotasi, dan dilatasi? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah bentuk transformasi geometri yang terjadi karena pergeseran. Perubahan obyek pada translasi dilakukan dengan cara menambahkan absis (x) dan ordinat (y) dengan nilai bilangan yang merupakan jarak translasai.

Misalkan, translasi T1(a, b) dilakukan pada titik P(x, y). Hasil translasi titik P(x, y) dengan T1 adalah titik P'(x+a, y+b).

Translasi T2(c, d) dilakukan pada titik P'(x+a, y+b). Hasil transformasi geometri dari translasi T2 untuk titik P’ adalah P”(x+a+p, y+b+q).

Transformasi geometri yang terjadi pada titik P dengan translasi T1 dan T2 terdapat pada gambar berikut.

Sebagai contoh sederhana, translasi titik P(2, 5) oleh T(1, 4) akan merubah letak titik P menjadi titik P'(2+1. 5+4) = P'(3, 9).

Baca Juga: Matriks Komposisi Transformasi Geometri

Contoh Soal Translasi +Bahas

Hasil translasi titik P1(3, ‒2) oleh T1 dilanjutkan dengan T2(2, 1) menghasilkan P2(8, 7). Komponen translasi dari T1 yang sesuai adalah ….
A. T1(8, 3)
B. T1(3, 8)
C. T1(3, 5)
D. T1(1, 8)
E. T1(1, 5)

Pembahasan:
Misalkan Komponen translasi dari T1 adalah (a, b) maka T2 • T1 = (a + 4, b + 1). Selanjutnya perhatikan proses translasi berikut.

Mencari nilai a:
3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:
-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T1 = (3, 8)

Jawaban: B

Refleksi (Pencerminan)

Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda seperti yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil bayangan refleksi pada bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya.

Ada tujuh jenis sumbu yang dapat menjadi cermin pada transformasi geometri refleksi yaitu sumbu-x, sumbu-y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k.

Hasil pencerminan titik (a, b) terhadap beberapa sumbu refleksi terdapat pada tabel berikut.

Sumbu PencerminanHasil Pencerminan
sumbu x(a, ‒b)
sumbu y(‒a, b)
garis y = x(b, a)
garis y = ‒x(‒b, ‒a)
titik O(0,0)(‒a, ‒b)
garis x = h(2h ‒ a, b)
garis y = k(a, 2k ‒ b)

Penjelasan proses pencerminan atau refleksi transformasi geometri pada berbagai sumbu refleksi terdapat pada bahasan berikut.

1) Pencerminan terhadap sumbu x

Hasil dari pencerminan terhadap sumbu x adalah nilai absis tetap dan ordinat menjadi lawannya. Letak titik A(a, b) karena pencerminan terhadap sumbu x akan menjadi A'(a, ‒b).

Matriks transformasi geometri untuk pencerminan atau refleksi terhadap sumbu x:

Rumus transformasi geometri untuk pencerminan terhadap sumbu-x.

Sebagai contoh, hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap sumbu x adalah P'(1, ‒2).

2) Pencerminan Terhadap Sumbu y

Transformasi geometri refleksi terhadap sumbu y akan menghasilkan nilai absis menjadi lawannya dan ordinat tetap. Koordinat titik A(a, b) karena pencerminan terhadap sumbu y menjadi titik A'(‒a, b)

Rumus Transformasi Geometri untuk Pencerminan Terhadap Sumbu y

Contoh, hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap sumbu y adalah P'(‒1, 2).

3) Pencerminan terhadap Garis y = x

Pencerminan suatu titik koordinat terhadap garis y = x akan membuat nilai absis menjadi ordinat dan ordinat absis. Hasil refleksi titik A(a, b) terhadap garis y = x adalah titik A'(b, a).

Rumus Transformasi Geometri untuk Pencerminan Terhadap Sumbu y = x

Misalkan, hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap sumbu y = x adalah P'(2, 1).

Baca Juga: Perkalian Matriks 2×2, 3×3, dan mn x nm

4) Pencerminan terhadap Garis y = ‒x

Pencerminan terhadap garis y = ‒x akan membuat nilai absis menjadi lawan ordinat, sedangkan nilai ordinat menjadi lawan absis. Hasil titik A(a, b) karena pencerminan terhadap sumbu y = ‒x menjadi berada pada titik A'(‒b, ‒a).

Rumus Transformasi Geometri untuk Pencerminan Terhadap Sumbu y = -x

Contoh, hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap garis y = ‒x adalah P'(‒2, ‒1).

5) Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)

Pencerminan pada titik asal artinya melakukan pencerminan terhadap titik O (0,0). Hasil pencerminan terhadap titik asal adalah nilai absis dan ordinat menjadi lawannya.

Titik A(a, b) karena pencerminan terhadap titik asal O(0, 0) akan menjadi berada titik A'(‒a, ‒b).

Rumus Transformasi Geometri untuk Pencerminan Terhadap Titik O

Contoh, hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap titik O(0,0) adalah P'(‒1, ‒2).

6) Pencerminan terhadap Garis x = h

Pencerminan terhadap garis x = h akan membuat titik absis bergeser sejauh 2h, sedangkan nilai titik ordinatnya tetap. Letak titik A(a, b) karena pencerminan terhadap sumbu x = h akan menjadi titik A'(2h ‒ a, b).

Rumus Transformasi Geometri untuk Pencerminan Terhadap Garis x = h

Contoh, hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap garis x = 2 adalah P'(2×2 ‒1, 2) = P'(3, 2).

7) Pencerminan terhadap Garis y = k

Pencerminan terhadap garis y = k akan membuat titik ordinatnya bergeser sejauh 2k, sedangkan nilai titik absisnya tetap. Letak titik A(a, b) menjadi berada pada titik A'(a, 2k – b) karena pencerminan terhadap sumbu y = k.

Contoh, hasil refleksi titik P(1, 2) terhadap garis y = 2 adalah P'(1, 2×2 ‒2) = P'(1, 2).

Baca Juga: Operasi Hitung Matriks +, ‒, dan ×

Contoh Soal Pencerminan +Bahas

Diketahui matriks A pada persamaan berikut.

Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A, adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:
Pertama, adalah mencari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x. Di mana hasil pencerminan terhadap garis y = x akan merubah kedudukan titik A(x, y) menjadi A'(x’, y’).

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
–x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A seperti hasil berikut.

Diperoleh dua persamaan yaitu (i) –3x’ + 2y’ = x’’ dan (ii) –x’ + y’ = y’’. Berikutnya, akan dicari persamaan x’ dan y’ dalam variabel x” dan y” seperti pengerjaan pada langkah berikut.

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan  –x’ + 3y’ – 11 = 0 seperti yang dilakukan pada langkah penyelesaian berikut.

–x’ + 3y’ – 11 = 0
–(2y’’ – x’’) + 3( 3y’’ – x’’ ) – 11 = 0
–2y’’ + x’’ + 9y’’ – 3x’’ – 11 = 0
–2x’’ + 7y’’ – 11 = 0
2x’’ – 7y’’ + 11 = 0

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

Baca Juga: Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui 2 Titik

Rotasi (Perputaran)

Transformasi geometri rotasi merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sejauh sudut tertentu. Rotasi dengan pusat O sejauh α dituliskan dengan R[O; α]. Rotasi dengan pusat P(m, n) sejauh α dituliskan dengan R[P(m, n); α].

Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar α disepakati untuk arah yang berlawanan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi searah jalannya jarum jam maka sudut yang dibentuk adalah –α.

Baca Juga:

Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar α = 135o dengan pusat O(0,0) pada gambar di bawah.

Rotasi Transformasi Geometri

Cara menentukan hasil rotasi suatu obyek dapat dengan menggunakan rumus transformasi geometri rotasi yang terdapat pada persamaan-persamaan di bawah.

Rotasi dengan Pusat O(0,0) sebesar α

Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh α derajat akan memutar titik koordinatnya sebesar α berlawanan arah jarum jam.

Sebuah titik A(a, b) karena rotasi sejauh α pada pusat O(0, 0) akan berubah menjadi titik A'(a’, b’). Di mana persamaan a’ = a cos α ‒ b sin α dan b’ = a sin α + b cos α.

Matrik transformasi geometri rotasi pada pusat O(0, 0) sejauh α:

Rotasi dengan Pusat O Sejauh α

Sebagai contoh, hasil rotasi titik P(1, 2) pada pusat O(0, 0) sejauh α = 90o dicari dengan cara penyelesaian berikut.

Misalkan titik koordinat hasil rotasi adalah a’ dan b’,

Menentukan absis hasil rotasi (a’):
a’ = 1 × cos 90o ‒ 2 × sin 90o
a’ = 1 × 0 ‒ 2 × 1
a’ = 0 ‒ 2
a = ‒2

Menentukan ordinat hasil rotasi (b’):
b’ = 1 × sin 90o + 2 × cos 90o
b’ = 1 × 1 + 2 × 0
b’ = 1 + 0
b’ = 1

Jadi, hasil rotasi titik P(1, 2) pada pusat O(0, 0) sejauh α = 90o adalah (‒2, 1).

Rotasi juga dapat dilakukan lebih dari satu kali. Misalnya, rotasi sejauh α yang selanjutnya dilanjutkan sejauh β pada pusat O(0, 0). Transformasi geometri rotasi tersebut dituliskan R[O; (α+β)].

Matrik transformasi geometri rotasi untuk rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh α yang selanjutnya dilanjutkan sejauh β:

Rotasi dengan Pusat O Sejauh α dan β

Rotasi dengan Pusat (m, n) sebesar α

Rotasi dengan pusat P(m, n) sejauh α derajat akan memutar titik koordinatnya sebesar α berlawanan arah jarum jam.

Sebuah titik A(a, b) karena rotasi sejauh α pada pusat P(0, 0) akan berubah menjadi titik A'(a’, b’). Di mana persamaan a’ = (a ‒ m)cos α ‒ (b ‒ n)sin α + m dan b’ = (a ‒ m)sin α + (b ‒ n)cos α + n.

Matrik transformasi geometri rotasi pada pusat P(m, n) sejauh α:

Rumus rotasi dengan pusat P sejauh α

Sebagai contoh, hasil rotasi titik P(1, 2) pada pusat P(3, 1) sejauh α = 90o dicari dengan cara penyelesaian berikut.

Misalkan titik koordinat hasil rotasi adalah a’ dan b’,

Menentukan absis hasil rotasi (a’):
a’ = (1 ‒ 3)cos 90o ‒ (2 ‒ 1)sin 90o + 3
a’ = ‒2×cos 90o ‒ sin 90o + 3
a’ = ‒2×0 ‒ 1 + 3
a’ = 2

Menentukan ordinat hasil rotasi (b’):
b’ = (1 ‒ 3)sin 90o + (2 ‒ 1)cos 90o + 1
b’ = ‒2×sin 90o + cos 90o + 1
b’ = ‒2×1 + 0 + 1
b’ = ‒1

Jadi, hasil rotasi titik P(1, 2) pada pusat O(0, 0) sejauh α = 90o adalah (2, ‒1).

Untuk rotasi sejauh α yang dilanjutkan sejauh β derajat pada pusat (m, n) memiliki persamaan hasil rotasi yang sesuai dengan persamaan matriks rotasi berikut.

Rotasi dengan Pusat P Sejauh α dan β

Baca Juga: Cara Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Matriks

Contoh Soal Rotasi +Bahas

Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[O(0,0); 90o] adalah ….
A. 2x – y – 4 = 0
B. x – 2y – 4 = 0
C. x – 2y – 2 = 0
D. 2x – y + 2 = 0
E. 2x – y – 4 = 0

Pembahasan:
Hasil transformasi pencerminan titik A(x, y) terhadap sumbu y adalah titik A'(–x, y).

Misalkan titik hasil pencerminan adalah (x’, y’) maka dapat diperoleh persamaan x’ = –x dan y’ = y atau x = –x’ dan y = y’.

Substitusi persamaan x = –x’ dan y = y’ ke persamaan x – 2y – 2 = 0 untuk mendapatkan hasil pencerminan garis tersebut terhadap sumbu y.

Menentukan hasil pencerminan
garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y:
x – 2y – 2 = 0
–x’ – 2y’ = 2

Transformasi geometri selanjutnya adalah rotasi sejauh 90o pada pusat O(0, 0). Hasil titik rotasi sejauh 90o pada pusat O(0, 0) untuk titik A(x, y) adalah A'(–y, x).

Sehingga untuk hasil dari rotasi titik A(x’, y’) sejauh 90o pada pusat O(0, 0) adalah A'(–y’, x’).

Misalkan titik (x”, y”) hasil rotasi sejauh 90o pada pusat O(0, 0) maka diperoleh persamaan x” = –y’ dan y” = x’ atau y’ = –x” dan x’ = y”.

Substitusi persamaan y’ = –x” dan x’ = y” ke persamaan garis lurus –x’ – 2y’ = 2 untuk mendapatkan garis hasil rotasi garis sejauh 90o pada pusat O(0, 0).

–x’ – 2y’ = 2
–y’’ – 2(–x’’) = 2
–y’’ + 2x’’ = 2
2x’’ – y’’ = –2
2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D

Dilatasi

Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Dilatasi melakukan transformasi geometri dengan hasil ukuran benda yang berbeda.

Ukruan yang dihasilkan dapat lebih kecil atau lebih besar, bergantung dari faktor skala yang digunakan. Rumus transformasi geometri dilatasi terdiri dari dua yang dibedakan berdasarkan pusatnya.

Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m

Hasil dilatasi titik A(a, b) pada pusat O(0, 0) dengan faktor skala m adalah A'(am, bm). Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat O(0,0), dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.

Transformasi Geometri Dilatasi pada Pusat O

Dilatasi titik A(a, b) terhadap pusat P(k, l) dengan faktor skala m

Hasil dilatasi titik A(a, b) pada pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah A'(am ‒ mk + k, bm ‒ lm + l). Matriks dilatasi dengan titik A(a, b) terhadap titik pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah sebagai berikut.

Transformasi Geometri Dilatasi pada Pusat P

Contoh Soal Dilatasi +Bahas

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2

Pembahasan:
Dilatasi titik A(a, b) pada pusat P(k, l) dengan faktor skala m adalah A'(am ‒ mk + k, bm ‒ lm + l). Sehingga, hasil dilatasi titik A(x, y) pada pusat P(3, 1) dengan faktor skala 3 adalah (x’, y’) yang memenuhi persamaan berikut.

  • x’ = 3x ‒ 3×3 + 3
    x’ = 3x ‒ 9 + 3
    x’ = 3x – 6
  • y’ = 3y ‒ 3×1 + 1
    y’ = 3y ‒ 3 + 1
    y’ = 3y ‒ 2

Titik yang dirotasi adalah (5, b) dan hasilnya adalah (a, 10). Substitusi nilai x = 5, y = b, x’ = a, dan y’ = 10 ke persamaan x’ = 3x – 6 dan y’ = 3y – 2 untuk mendapatkan nilai a dan b.

Menentukan nilai a:
x’ = 3x – 6
a = 3(5) – 6
a = 15 – 6 = 9

Menentukan nilai b:
y’ = 3y – 2
10 = 3b – 2
3b = 10 + 2
3b = 12
b = 12 : 3 = 4

Diperoleh nilai a = 9 dan b = 4, jadi nilai a – b = 9 – 4 = 5.

Jawaban: C

Sekian pembahasan mengenai rumus pada transformasi geometri yang terdiri dari translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Cara Mencari Nilai x dan y (nilai-nilai elemen matriks) pada Suatu Matriks

9 thoughts on “Rumus Transformasi Geometri Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi”

  1. Blog Pendidikan

    Ingat waktu presentase tentang geometri, ada kesan tersendiri. terimakasih atas tulisannya

  2. nabyllah

    untuk refleksi thd garis x = h, kalo menggunakan matriks hasilnya (2h – a,-b) (di tabel)
    tapi dibawahnya lagi ( di grafik) di tuliskan (2h-a, b), yg benr yang mana kak? b nya negatif atau tidak?

    1. Halo nabyllah, untuk pencerminan titik T(a, b) terhadap garis x = h akan menghasilkan bayangan titik yang memenuhi T'(2h – a, b), untuk matriks transformasi dalam tabel sudah dibenahi, terimakasih koreksinya, salam sukses selalu!

  3. Arit Gena

    Kak,maaf jawaban contoh soal yg tentang refleksi mungkin Kaka sedikit keliru itu sebenarnya -2x^double aksen bukan hnya 2x double aksen saja kaka

  4. Ka maaf sebelumnya, sepertinya ada kesalahan di soal terkahir ttg dilatasi. Pada bagian penjumlahan dengan pusat nya seharusnya ditambah (3,1) tp dibaris kedua ditulisnya (2,1) apa memang seperti itu? Soalnya saya itung hasil 5

    1. Haloo Ff, terimakasih sudah mampir di idschool, tidak perlu minta maaf, jawaban kamu benar. Ini sebagai koreksi untuk admin, terimakasih koreksinya Ff, sukses selalu!

    1. iya gan, daripada ilmunya cuma nguap di otak mending didokumentasikan, semoga bisa bermanfaat untuk orang lain, hehe

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.