Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak (Polinomial)

Dua teorema yang tidak boleh ditinggalkan untuk dipelajari pada materi suku banyak (polinomial) adalah teorema sisa dan teorema faktor. Kedua teorema ini akan sangat membantu sobat idschool menyelesaikan variasi soal pada teorema sisa dan teorema faktor pada suku banyak (polinomial). Pada proses pembagian suku banyak, sobat idschool dapat mengetahui hasil bagi dan sisa hasil bagi dari suatu suku banyak. Dengan menggunakan teorema sisa, sobat idschool dapat mengetahui sisa hasil bagi secara langsung tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.

Teorema sisa dapat digunakan untuk mengetahui sisa hasil bagi dari suatu suku banyak. Sedangkan teorema faktor digunakan untuk menyelidiki faktor-faktor dari suatu suku banyak. Suatu bilangan merupakan faktor dari suatu suku banyak jika sisa hasil pembagian (yang dihitung menggunakan teorema sisa) adalah nol atau tidak mempunyai sisa.

Baca Juga: Pembagian Suku Banyak (Polinomial)

Bagaimana bentuk teorema sisa dan teorema faktor? Bagaimana penggunaan teorema sisa dan teorema faktor untuk menyelesaikan masalan polinomial? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan teorema sisa dan teorema faktor di bawah.

Table of Contents

• Teorema Sisa
• Teorema Faktor
• Contoh Soal + Pembahasan Penggunaan Rumus Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Teorema Sisa

Pembahasan pertama mengenai pembahasan teorema sisa dan teorema faktor pada suku banyak yang akan dibahas adalah teorema sisa. Namun sebelumnya, ingat kembali bentuk suku banyak pada pembagian suku banyak yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan umum berikut.

f(x) = p(x) ∙ H(x) + S(x)

Keterangan:
f(x)   = suku banyak
p(x)   = pembagi suku banyak
H(x)   = hasil bagi suku banyak
S(x)   = sisa suku banyak

 Perhatikan tiga poin dalam teorema sisa berikut.

Soal: Tentukan sisa hasil bagi f(x) = x² + 3x + 5 oleh x + 2!
(contoh penggunaan teorema sisa)

Pada pembahasan pembagian suku banyak, sobat idschool dapat memperoleh sisanya dengan melakukan pembagian terlebih dahulu kemudian mendapatkan sisanya. Dengan teorema sisa, sobat idschool dapat langsung memperoleh sisanya tanpa harus malakukan pembagian terlebih dahulu.

Perhatikan kembali teorema sisa, khususnya pada poin pertama: Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan , maka sisanya adalah S(x) = f(x).
 
Jadi, untuk mendapatkan sisa pembagian suku banyak, sobat idschool hanya perlu substitusi nilai k pada persamaan suku banyak.
 
Pembagi: x + 2 → k = ‒2
Sekarang, susbtitusi nilai k = ‒2 pada f(x) = x² + 3x + 5
f(‒2) = (‒2)² + 3(‒2) + 5
f(‒2) = 4 ‒ 6 + 5 = 3

Jadi, berdasarkan teorema sisa dapat disimpulkan bahwa sisa hasil pembagian adalah 3.

Baca Juga: Kesamaan Variabel pada Suku Banyak (Polinomial)

Teorema Faktor

Masuk ke pembahasan teorema selanjutnya yaitu teorema faktor. Inti dari teorema faktor adalah suatu pembagi merupakan faktor dari suku banyak jika memiliki sisa nol (0). Jadi, teorema sisa masih diperlukan di sini, yaitu untuk mengetahui sisa dari suatu pembagian suku banyak. Jika sisa pembagian suatu suku banyak adalah nol (0) atau tidak memiliki sisa, maka pembagi tersebut merupakan faktor dari suku banyak. Sebaliknya, jika sisanya tidak nol maka pembagi tersebut bukan merupakan faktor suku banyak.

Perhatikan teorema faktor yang diberikan dalam gambar di bawah.
 

Untuk menambah pemahaman sobat idschool dalam memahami teorema sisa, akan ditunjukkan penggunaan teorema sisa untuk menentukan faktor suatu suku banyak atau bukan.

Soal:
Akan ditunjukkan bahwa (x – 1) merupakan faktor dari f(x) = x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1 menggunakan teorema faktor. 

Pembahasan:
Untuk menunjukkan bahwa (x ‒ 1) merupakan faktor dari f(x) = x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1, cukup ditunjukkan bahwa f(1) = 0. Perhatikan perhitungan seperti yang ditunjukkan pada cara berikut.

f(x) = x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1
f(1) = (1)³ ‒ 3(1)² + 3(1) ‒ 1
f(1) = 1 ‒ 3 + 3 ‒ 1
f(1) = 0
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa (x ‒ 1) merupakan faktor dari f(x) = x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1. 

Untuk membuktikannya, sobat idschool bisa melakukan pemfaktoran f(x) = x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1 menggunakan cara horner. Faktor dari suatu suku banyak f(x) dapat pula ditentukan dengan menggunakan cara Horner seperti pada contoh berikut.
 

 
Hasil pemfaktoran:
f(x) = x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1
f(x) = (x – 1)(x² ‒ 2x + 1)

Bentuk f(x) pada persamaan di atas memiliki pangkat tertinggi 2, artinya masih bisa difaktorkan lagi. Cara memfaktorkan persamaan kuadrat tidak perlu menggunakan cara horner, walaupun cara horner tetap bisa digunakan.

Baca Juga: Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

Pemfaktoran untuk persamaan kuadrat: x² ‒ 2x + 1
Jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah x₁ dan x₂ maka cari kedua bilangan yang memenuhi syarat berikut.
x₁ + x₂ = ‒(^‒2/₁) = 2 dan x₁ ∙ x₂ = ¹/₁ = 1.

Kedua bilangan yang memenuhi adalah 1 dan 1, sehingga hasil faktor persamaan kuadrat x² ‒ 2x + 1 adalah x² ‒ 2x + 1 = (x ‒ 1)(x ‒ 1). 

Sehingga, kita peroleh persamaan f(x) menjadi persamaan seperti bentuk berikut.
x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1 = (x ‒ 1)(x ‒ 1)(x ‒ 1)
x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1 = (x ‒ 1)³ 

 Jadi, faktor-faktor persamaan dari x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1 adalah (x ‒ 1), hasil ini sesuai dengan teorema faktor (pembahasan sebelumnya) yang menyatakan bahwa (x ‒ 1) merupakan faktor dari f(x) = x³ ‒ 3x² + 3x ‒ 1.
 
Baca Juga: Contoh Soal Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Polinomial

Contoh Soal + Pembahasan Penggunaan Rumus Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Penggunaan teorema sisa dan teorema faktor untuk menyelesaikan soal dapat dilihat seperti pada penyelesaian contoh soal di bawah.

Contoh soal:
Suatu suku banyak f(x) dibagi x ‒ 1 sisa 2, dibagi x ‒ 2 sisa 3. Suatu suku banyak g(x) dibagi x ‒ 1 sisa 5, dibagi x ‒ 2 sisa 4. Jika h(x) = f(x) ∙ g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x² ‒ 3x + 2 adalah .…
A. ‒2x + 12
B. ‒2x + 8
C. ‒x + 4
D. 2x + 8
E. x + 4

Pembahasan:
Bentuk umum suku banyak h(x):
h(x) = (x² ‒ 3x + 2) ∙ H(x) + S(x)
h(x) = (x ‒ 2)(x ‒ 1) ∙ H(x) + S(x)

Misalkan S(x) = ax + b, maka bentuk umum h(x) menjadi h(x) = (x ‒ 2)(x ‒ 1) ∙ H(x) + (ax + b).

Berdasarkan teorema sisa, maka dapat diperoleh dua persamaan di bawah.

Persamaan 1:
h(1) = S_f(x)(1) ∙ S_g(x)(1)
(1 ‒ 2)(1 ‒ 1) ∙ H(1) + ( a ∙ 1 + b) = 2 ∙ 5
‒1 ∙ 0 ∙ H(1) + a + b = 10
a + b = 10

Persamaan 2:
h(2) = S_f(x)(2) ∙ S_g(x)(2)
(2 ‒ 2)(2 ‒ 1) ∙ H(2) + ( a ∙ 2 + b) = 3 ∙ 4
0 ∙ 1 ∙ H(2) + 2a + b = 12
2a + b = 12

Selanjutnya adalah mencari nilai a dan b menggunakan metode substitusi eliminasi pada sistem persamaan linear dua variabel (spldv).

Mencari nilai a:

Mencari nilai b: substitusi nilai a = 2 pada persamaan a + b = 10
a + b = 10
2 + b = 10
b = 10 ‒ 2
b = 8

Jadi, sisa pembagian h(x) oleh x² ‒ 3x + 2 adalah ax + b = 2x + 8.

Jawaban: D

Sekian pembahasan mengenai teorema sisa dan teorema faktor suku banyak (polinomial). Jika ada yang bagian yang tidak jelas atau ada bagian yang kurang teliti dalam menyampaikan ulasan teorema sisa dan teorema faktor di atas, dapat disampaikan melalui kolom komentar.

Terimakasih sudah berkunjung ke halaman teorema sisa dan teorema faktor dari idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Pembagian Suku Banyak