Turunan merupakan permasalah yang berawal dari kemiringan garis singgung pada suatu kurva. Besar kemiringan garis singgung dapat ditentukan melalui pendekatan limit. Selanjutnya, persamaan pendekatan tersebut dinyatakan dalam definisi turunan. Melalui definisi turunan dapat diperoleh berbagai aturan yang dapat digunakan untuk mendapatkan hasil turunan fungsi dengan lebih mudah, termasuk turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi.
Definisi turunan menjadi dasar untuk mendapatkan suatu fungsi baru yang merupakan turunan fungsi. Persamaan dalam definisi turunan menyatakan nilai fungsi f(x) di suatu titik yang diperoleh dengan cara mencari nilai limitnya.
Definisi turunan di atas dapat digunakan untuk mencari turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi. Sayangnya, cara menentukan turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi dengan definisi turunan memiliki langkah yang sangat panjang. Sehingga diperlukan metode lain yang lebih efisien untuk mendapatkan turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi.
Cara untuk menentukan turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi termuat dalam aturan hasil kali dan aturan hasil bagi. Bagaimana, cara menentukan turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi? Sobat idschool dapat mencari tahu lebih banyak melalui ulasan di bawah.
Table of Contents
Baca Juga: Pengertian Turunan Fungsi dan 8 Teorema Turunan
Aturan Hasil Kali pada Turunan
Aturan hasil kali pada turunan akan sangat membantu untuk menentukan turunan dari fungsi dengan bentuk cukup rumit. Contoh fungsi yang dapat ditentukan turunannya dengan aturan hasil kali adalah fungsi-fungsi seperti berikut.
- B(x) = (3x2 + 1)5(x – 1)
- g(x) = 2x5(3x2 + 1)2
- y = (x + 6)(3x2 + 1)6
- p(x) = 2x5(3x2 + 1)2
- f(x) = (2x2 – 5)(x2 + 2)!
Turunan dari sebuah fungsi yang memuat dua fungsi dapat dilakukan dengan mengalikannya terlebih dahulu. Misalnya pada contoh di bawah, mencari turunan f(x) = (2x2 – 5)(x2 + 2).
f(x) = (2x2 – 5)(x2 + 2)
= 2x4 + 4x2 – 5x2 – 10
= 2x4 – x2 – 10
Sehingga turunan fungsi f(x) dapat secara mudah diperoleh,
f(x) = 2x4 – x2 – 10
f’(x) = 8x4 – 2x
Namun cara tersebut tidak akan berguna dengan baik pada bentuk fungsi yang lebih kompleks seperti B(x) = (3x2 + 1)5(x – 1). Hasil kali fungsi B(x) mempunyai proses yang sangat panjang dan tidak menguntungkan. Sehingga diperlukan cara lain untuk mendapatkan turunannnya.
Turunan perkalian dua fungsi seperti pada fungsi B(x) = (3x2 + 1)5(x – 1) akan lebih dicari dengan aturan hasil kali seperti berikut.
Bukti aturan hasil kali:
- Andaikan F(x) = f(x) · g(x)
- turunan pertama f(x) = f’(x)
- turunan pertama g(x) = g’(x)
Turunan pertama fungsi F(x) atau F’(x):
Selanjutnya, coba lihat penggunaan aturan hasil kali untuk menentukan turunan fungsi seperti di atas.
Contoh:
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (2x2 – 5)(x2 + 2)!
Langkah-langkah menentukan turunan fungsi f(x) = (2x2 – 5)(x2 + 2) dengan aturan hasil kali.
- Memisakan dua buah fungsi dalam u dan v, serta mencari turunan masing-masing.
Misalkan:
u = 2x2 – 5 → du = 4x dx
v = x2 + 2 → dv = 2x dx
- Mencari turunan pertama fungsi f(x):
f’(x) = (2x2 – 5)(2x) + 4x(x2 + 2)
f’(x) = 4x3 – 10x + 4x3 + 8x
= 4x3 + 4x3 – 10x + 8x
= 8x3 – 2x
- Diperoleh hasil turunan yang sama untuk kedua cara yaitu f’(x) = 8x3 – 2x.
Baca Juga: Turunan Fungsi Trigonometri
Aturan Hasil Bagi pada Turunan
Aturan hasil bagi memiliki tujuan penggunaan yang sama dengan bahasan sebelumnya. Persamaan umum yang terdapat pada aturan hasil bagi juga berasal dari definisi turunan. Sehingga, aturan hasil bagi dapat dibuktikan kebenarannya. Persamaan yang dapat digunakan untuk mencari hasil bagi dua fungsi adalah sebagai berikut.
Bukti:
- andaikan F(x) = f(x)/g(x)
- turunan pertama f(x) = f’(x)
- turunan pertama g(x) = g’(x)
Turunan pertama fungsi F(x) atau F’(x):
Contoh:
Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) seperti persamaan berikut!
Misalkan:
u = x2 – 1 → du = 2x dx
v = x + 1 → dv = 1 dx
Mencari turunan pertama f(x):
Sehingga diperoleh hasil turunan pertama untuk fungsi f(x) adalah f’(x) = 1.
Baca Juga: Aplikasi Turunan – Mencari Luas Maksimum/Minumum Suatu Daerah
Penggunaan aturan hasil kali dan hasil bagi sangat berguna untuk menentukan turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi dengan bentuk rumit. Cara menggunakan aturan hasil kali dan hasil bagi untuk menyelesaikan soal dapat dilihat melalui contoh soal dan pembahasan berikut.
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal turunan fungsi berikut dapat diselesaikan dengan aturan hasil kali dan hasil bagi pada turunan. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasan cara menentukan turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!
Contoh 1 – Soal Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi Dua Fungsi
Turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x2(2x – 5)6 adalah f’(x) = ….
A. (40x2 – 30x)(2x – 5)6
B. 6x(8x – 5)(2x – 5)5
C. 6x(8x – 5)(2x – 5)6
D. 12x(8x – 5)(2x – 5)5
E. 12x(8x – 5)(2x – 5)6
Pembahasan:
Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah melakukan pemisalan dua fungsi ke dalam variabel u dan v.
Misalkan:
u = 3x2 → du = 6x dx
v = (2x – 5)6 → dv = 6(2x – 5)5 · 2 dx = 12(2x – 5)5 dx
Mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x2(2x – 5)6:
f’(x) = 6x · (2x – 5)6 + 12(2x – 5)5 · 3x2
f’(x) = 6x · (2x – 5)(2x – 5)5 + 36x2(2x – 5)5
= (12x2 – 30x + 36x2)(2x – 5)5
= (48x2 – 30x)(2x – 5)5 = 6x(8x – 5)(2x – 5)5
Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x2(2x – 5)6 adalah f’(x) = 6x(8x – 5)(2x – 5)5.
Jawaban: B
Contoh 2 – Soal Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi Dua Fungsi
Pembahasan:
Langkah pertama yang perlu dilakukan adalah melakukan pemisalan dua fungsi ke dalam variabel u dan v.
Misalkan:
u = x2 + 4 → du = 2x dx
v = √x → dv = 1/2√x
Mencari turunan pertama fungsi f(x):
Jawaban: A
Demikianlah tadi ulasan cara mencari turunan hasil kali dan hasil bagi dua fungsi. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.
Baca Juga: Aplikasi Turunan untuk Menghitung Biaya Produksi Minimum