Rumus dan 4 Cara Menentukan Gradien +Contoh Soalnya

Gradien adalah nilai yang menunjukkan kemiringan garis lurus. Simbol gradien biasanya dituliskan dengan huruf m. Cara menentukan gradien cukup mudah, jika tahu caranya. Uraian di bawah akan menjelaskan bagaimana cara menentukan gradien garis lurus.

Kita mulai dengan pemanasan, menentukan nilai gradien garis y = 2x + 3. Nilai gradien garis y = 2x + 3 adalah m = 2. Sementara gradien garis y = −3x + 2 adalah m = −3. Dari sini dapat disimpulkan bahwa rumus gradien garis lurus y = mx + c adalah koefisien x (bilangan di depan variabel x).

Rumus gradien tersebut hanya berlaku untuk garis lurus yang dinyatakan dengan persamaan y = mx + c. Namun rumus gradien tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan gradien garis lurus Ax + By + C = 0. Rumus gradien garis tersebut juga tidak dapat digunakan untuk menentukan nilai gradien dari garis lurus yang hanya diketahui dua titik.

Sehingga rumus gradien garis lurus tidak hanya ada satu. Ada beberapa rumus gradien garis lurus yang dapat digunakan untuk menentukan nilai gradien garis lurus karena persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk. Ulasan di bawah akan menjelaskan bagaimana cara menentukan gradien garis lurus.

Baca Juga: Rumus Persamaan Garis Lurus

Nilai Gradien Garis Lurus

Sebuah garis lurus horizontal memiliki nilai gradien m = 0. Sementara gradien garis lurus vertikal adalah m = ∞. Untuk garis yang condong ke kanan memiliki nilai gradien positif dan garis yang condong ke kiri memiliki nilai gradien negatif.

Garis lurus yang condong ke kanan dengan kemiringan 45^o memiliki nilai gradien m = 1. Sementara garis lurus yang condong ke kiri dengan kemiringan 45^o memiliki nilai gradien m = −1.

Secara umum, nilai gradien dari sebuah garis menyatakan perbandingan perubahan satuan sumbu vertikal (Δy) per perubahan satuan sumbu horizontal (Δx). Secara matematis, rumus gradien adalah m = Δy/Δx.

Baca Juga: Persamaan Garis yang Saling Sejajar

Rumus Gradien Garis Lurus

Gradien dan suatu garis lurus dapat diketahui dengan empat cara berbeda. Keempat cara yang digunakan bergantung dari bagaimana bentuk persamaan garis lurusnya.

1) Cara Menentukan Gradien Garis Lurus dari Gambar

Untuk garis lurus yang diberikan dalam bentuk gambar, pertama amati arah condong garisnya. Apakah garis condong ke kanan atau garis condong ke kiri.

• Jika garis condong ke kanan maka nilai gradiennya positif (+)
• Jika garis condong ke kiri maka nilai gradiennya negatif (–)

Nilai gradien m dihitung dari perbandingan jarak sumbu y (Δy) dengan jarak sumbu x (Δy) dari perpotongan garis tegak/mendatar yang melalui garis lurus.

Dua gambar di atas menunjukkan bagaimana cara menentukan nilai m (gradien) garis lurus yang diberikan dalam bentuk gambar.

2) Gradien Garis Lurus y = mx + c

Persamaan garis yang diketahui dengan persamaan y = mx + c memiliki nilai gradien sama dengan m. Rumus gradien garis lurus y = mx + c adalah m = koefisien x (bilangan di depan variabel x).

Nilai koefisien x dapat bertanda positif atau negatif. Garis dengan gradien positif (m > 0), jika digambar akan menghasilkan garis yang condong ke kanan. Dan garis dengan gradien negatif (m < 0), jika digambar akan menghasilkan garis yang condong ke kiri.

Sebagai contoh, sebuah garis lurus dinyatakan dalam persamaan y = 2x + 4. Maka gradien garis lurus tersebut adalah m = 2.

Untuk garis lurus yang dinyatakan dalam persamaan qy = px + c, rumus gradien yang digunakan adalah koefisien x per koefisien y. Sehingga, gradien garis lurus qy = px + c adalah m = ^p/_q.

Gradien garis qy = px + c:

Sebagai contoh: Diketahui sebuah garis memiliki persamaan 2y = 3x + 5. Gradien garis lurus tersebut adalah m = ³/₂.

Baca Juga: Cara Mencari Persamaan Garis yang Saling Tegak Lurus

3) Gradien Garis Lurus Ax + By + C = 0

Bentuk persamaan garis juga dapat dinyatakan dalam persamaan Ax + By + C = 0. Nilai gradien garis lurus yang dinyatakan dalam persamaan Ax + By + c = 0 adalah m = –^A/_B.

Sebagai contoh: Sebuah garis lurus diketahui memiliki persamaan 3x + 2y – 6 = 0.

Persamaan garis lurus 3x + 2y – 6 = 0 memiliki nilai A = 3 (bilangan di depan x) dan B = 2 (bilangan di depan y). Jadi, gradien garis 3x + 2y – 6 = 0 adalah m = –^A/_B = –³/₂ = –1¹/₂ .

4) Gradien Garis Lurus yang Melalui 2 Titik

Beberapa soal juga hanya memberikan informasi berupa dua titik yang dilalui garis. Misalkan diketahui garis yang melalui dua titik yaitu P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂).

Rumus gradien garis lurus yang diketahui melalui titik (x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) adalah m = y₂-y₁/x₂-x₁.

Bagaimana penggunaan rumus di atas untuk mencari nilai gradien dari garis lurus yang diketahui melalui 2 titik terdapat pada contoh 2 di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Contoh Soal Menentukan Gradien

Sebuah tangga bersandar pada dinding tembok (seperti pada gambar).

Kemiringan tangga terhadap dinding tembok adalah ….
A. ⁴/₃
B. ⁵/₄
C. ⁴/₅
D. ³/₄

Pembahasan:
Rumus gradien garis lurus yang diberikan dalam gambar dicari tahu dengan mengamati kemana arah condong garis serta perbandingan sumbu vertikal (y) dan sumbu horizontal (x).

Untuk menentukan kemiringan tangga tersebut, kita perlu mencari tinggi tembok terlebih dahulu. Gunakan teorema Pythagoras untuk mencari tinggi tembok.

Tangga condoh ke arah kanan, sehingga nilai gradien akan positif.

Dari soal diperoleh bahwa jarak sumbu x (horizontal) adalah Δx = 6 m. Sementara jarak sumbu y (vertikal) belum diktahui. Jarak sumbu vertikal sama dengan jarak antara ujung tangga bagian atas sampai ke tanah (Δy = tinggi tembok).

Cara menghitung tinggi tembok dapat menggunakan rumus Pytagoras seperti yang dilakukan pada langkah penyelesaian berikut.

Dari hasil perhitungan diperoleh jarak sumbu y (vertikal) adalah Δy = 8 m. Jadi, kemiringan tangga terhadap dinding tembok adalah m = ^Δy/_Δx = ⁸/₆ = ⁴/₃.

Jawaban: A

Contoh 2 – Gradien garis Lurus yang melalui 2 titik

Gradien dari sebuah garis yang melalui titik P(1, 3) dan Q(5, 7) adalah ….
A. 2
B. 1
C. 0
D. –1

Pembahasan:
Untuk mendapatkan nilai gradien dari dua titik yang diketahui, sobat idschool dapat menggunakan rumus gradien berikut.

Jadi, gradien dari sebuah garis yang melalui titik P(1, 3) dan Q(5, 7) adalah m = 1.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan bagaimana cara menentukan gradien garis lurus beserta contoh penggunaan rumus gradien. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Rumus Jarak Titik ke Garis