Garis Singgung Lingkaran pada Persekutuan 2 Lingkaran

Ada dua jenis garis singgung lingkaran pada persekutuan dua lingkaran yaitu garis singgung persekutuan luar dan dalam pada dua buah lingkaran. Panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran pada dua jenis tersebut dapat dihitung dengan rumus pythagoras. Di mana diketahui pada rumus pythagoras menyatakan hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku.

Pada segitiga siku-siku terdapat dua buah sisi tegak dan satu buah sisi miring. Garis singgung persekutuan dua lingkaran merupakan salah satu sisi tegak pada segitiga siku-siku. Sedangkan panjang jumlah/selisih jari-jari menjadi sisi tegak yang satunya. Sisi miring segitiga merupakan panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan dua lingkaran. Tiga buah ruas garis yang merupakan panjang garis singgung, jarak dua pusat dua lingkaran, dan jumlah/selisih segitiga membentuk sebuah segitiga. Antara garis singgung persekutuan dua lingkaran dan garis jumlah/selisih jari-jari lingkaran selalu membentuk sudut siku-siku. Sehingga terbentuklah sebuah segitiga siku-siku yang hubungan ketiga sisinya sesuai dengan rumus pythagoras.

Baca Juga: Unsur-Unsur Lingkaran dan Rumus Keliling & Luasnya

Bagaimana cara menghitung panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran? Bagaimana cara menghitung panjang garis singgung lingkaran? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Table of Contents

• Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
• Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
• Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran dan Pembahasan
  • Contoh 1 – Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
  • Contoh 2 – Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dua buah lingkaran yang berpusat pada titik O dan P memiliki panjang jari-jari yang berbeda. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat O adalah R, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah r. Jarak kedua pusat pada dua lingkaran tersebut adalah OP. Terdapat sebuag garis yang menyinggung kedua lingkaran yaitu garis AB.

Gambar di bawah menunjukkan letak garis AB yang merupakan garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dari dua lingkaran.

Garis AB adalah garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran. Perhatikan bahwa panjang AB sama dengan panjang PP’. Sehingga dengan menghitung panjang PP’ secara otomatis dapat mengetahui panjang ruas garis AB. Di mana, garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

Segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku memenuhi persamaan pada rumus Pythagoras. Sehingga dapat diperoleh persamaan P’P² = OP² ‒ P’O² dengan P’O = OA ‒ BP = R ‒ r. Atau persamaan dapat juga dibentuk dalam bentuk P’P² = OP² ‒ (R ‒ r)².

Dengan demikian panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar pada dua lingkaran dapat diperoleh melalui rumus garis singgung persekutuan luar berikut.

Baca Juga: Panjang Busur, Luas Juring, serta Luas Tembereng

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan.

Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran.

 

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan antara P’O, P’P, dan OP dapat sesuai pada rumus Pythagoras yaitu P’P² = OP²‒ P’O². Karena PO’ = OA + BP = R + r maka bentuk persamaan dapat juga dinyatakan dalam P’P² = OP²‒ (R + r)²

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Baca Juga: Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling pada Sebuah Lingkaran

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 9 cm
D. 10 cm
 
Pembahasan:

Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.

 

 

Diketahui bahawa,

• Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran: AB = 24 cm
• Jarak keuda pusat lingkaran: OP = 26 cm
• Panjang jari-jari lingkaran besar: OA = 18 cm
• Panjang jari-jari lingkaran kecil: OB = r

Menghitung panjang garis singgung AB:

AB² = OP² ‒ (OA ‒ r)²
24² = 26² ‒ (18 ‒ r)²
676 = 576 ‒ ( 18 ‒ r)²
(18 ‒ r)² = 676 ‒ 576
(18 ‒ r)² = 100
18 ‒ r = 10
‒r = 10 ‒ 18
‒r = ‒8 → r = 8 cm

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.

Jawaban: D

Contoh 2 – Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Perhatikan gambar berikut!

 

 

Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah ….
A. 12 cm
B. 15 cm
C. 17 cm
D. 20 cm

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut.

• Panjang jari-jari lingkaran besar: R = 10 cm
• Panjang jari-jari lingkaran kecil: r = 5 cm
• Jarak kedua pusat lingkaran: OP = 25 cm

Menghutng panjang garis singgung AB:
AB² = OP² ‒ PC²
AB² = OP² ‒ ( R + r )²
= 25² ‒ ( 10 + 5)²
= 625 ‒ 225
AB² = 400
AB = √400 = 20 cm

Jadi, panjang garis singgung AB adalah 20 cm.

Jawaban: D
 

Sekian pembahasan mengenai garis singgung persekutuan dua lingkaran yang meliputi dua jenis yaitu garis singgung persekutuan luar dan dalam. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat. 

Baca Juga: Segitiga Siku-Siku dengan Sudut Istimewa (α = 30^o, 45^o, atau 60^o)