Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat Baru

Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat Baru – Bahasan yang disampaikan pada halaman ini terkait dengan materi persamaan kuadrat. Ulasan yang diberikan meliputi cara menyusun persamaan kuadrat baru dengan tingkat level kognitif penalaran.

Persamaan Kuadrat

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Akar-akar persamaan kuadrat 2x^{2} - 6x + 2 = 0 adalah x_{1} dan x_{2}. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \frac{1}{x_{1} + 1} dan \frac{1}{x_{2} + 1} adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 5x^{2} - 5x + 1 = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; 3x^{2} - 5x + 1 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; 5x^{2} - 3x + 1 = 0\]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} - 5x + 5 = 0\]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; 5x^{2} - x + 5 = 0\]

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat:

    \[ 2x^{2} - 6x + 2 = 0 \]

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di atas:

    \[ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{2} = 3 \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{2} = 1 \]

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

    \[ \frac{1}{x_{1} + 1} + \frac{1}{x_{2} + 1} = \frac{x_{2} + 1 + x_{2} + 1}{(x_{1} + 1)(x_{2} + 1)} \]

    \[ = \frac{x_{1} + x_{2} + 2}{x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} \]

    \[ = \frac{3 + 2}{1 + 3 + 1} \]

    \[ = \frac{5}{5} = 1 \]

 

    \[ \frac{1}{x_{1} + 1} \cdot \frac{1}{x_{2} + 1} = \frac{1}{(x_{1} + 1)(x_{2} + 1)} \]

    \[ = \frac{1}{x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} \]

    \[ = \frac{1}{1 + 3 + 1} \]

    \[ = \frac{1}{5} \]

Sehingga, persamaan kuadrat yang baru menjadi:

    \[ x^{2} - x + \frac{1}{5} = 0 \]

    \[ 5x^{2} - 5x + 1 = 0 \]

Jawaban: A

Contoh 2 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya satu kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat x^{2} - 3x - 5 = 0 adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - 5x - 7 = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - x - 1 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} - 5x - 3 = 0 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} - x - 7 = 0 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; x^{2} - 5x - 1 = 0 \]

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat:

    \[ x^{2} - 3x - 5 = 0 \]

Maka:

    \[ x_{1} +  x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-3}{1} = 3 \]

    \[ x_{1} \cdot  x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5 \]

Misalkan akar-akar persamaan baru adalah \alpha dan \beta. Di mana akar-akar persamaan yang baru memiliki nilai satu kurangnya dari persamaan kuadrat pada x^{2} - 3x - 5 = 0, maka

    \[ \alpha = x_{1} - 1 \]

    \[ \beta = x_{2} - 1 \]

Persamaan kuadrat dengan akar-akar x_{1} - 1 dan x_{2} - 1 adalah

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

    \[ \alpha + \beta =  x_{1} -  1 + x_{2} - 1 \]

    \[ \alpha + \beta =  x_{1} + x_{2} - 2 \]

    \[ \alpha + \beta =  3 - 2 = 1 \]

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

    \[ \alpha \cdot \beta =  \left( x_{1} - 1 \right)  \left( x_{2} - 1 \right) \]

    \[ \alpha \cdot \beta = x_{1}  x_{2} - x_{1} -  x_{2} + 1 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  x_{1}  x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) + 1 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  - 5 -  3  + 1 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  -7  \]

Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:

    \[  x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0 \]

    \[  x^{2} - x - 7 = 0 \]

Jawaban: D

Fungsi Kuadrat

Contoh 1 – Latihan Soal UN 2019 Fungsi Kuadrat

Perhatikan gambar!

Cara Menentukan Fungsi Kuadrat dari Suatu Kurva
Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; y = 2 + x - x^{2} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; y = x^{2} + x + 2 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; y = 2 - x - x^{2} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; y = x^{2} - x + 2 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; y = x^{2} - x - 2 \]

Pembahasan:

Persamaan umum kuadrat dinyatakan melalui persamaan:

    \[ y = a(x - x_{1})(x - x_{2}) \]

Di mana titik x_{1} dan x_{2} adalah akar-akar persamaan dari persamaan kuadrat. Diketahui, kurva memotong garis x pada titik ( -1, 0) dan (2, 0). Sehingga, dari persamaan di atas dapat diperoleh hasil sebagai berikut.

    \[ y = a(x + 1)(x - 2) \]

Kurva diketahui melalui titik (0, 2). Substitusi nilai pada titik tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai a.

    \[ y = a(x + 1)(x - 2) \]

    \[ 2 = a(1)(- 2) \]

    \[ 2 = - 2a \]

    \[ a = - 1 \]

Jadi, diperoleh persamaan kuadrat seperti gambar pada soal adalah sebagai berikut.

    \[ y = -1 (x + 1)(x - 2) \]

    \[ y = -1 \left( x^{2} - 2x + x - 2 \right) \]

    \[ y = - x^{2} + 2x + 2 \]

Jawaban: A

Contoh 2 – Soal UN Fungsi Kuadrat

Perhatikan gambar berikut!

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; y = \frac{1}{2} x^{2} - 3x + 4 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; y = \frac{1}{2} x^{2} - 6x + 4 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; y = x^{2} - 3x + 4 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; y = x^{2} - 6x + 4 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; y = x^{2} - 6x + 8 \]

Pembahasan:

Persamaan umum kuadrat dinyatakan melalui persamaan:

    \[ y = a(x - x_{1})(x - x_{2}) \]

Di mana titik x_{1} dan x_{2} adalah akar-akar persamaan dari persamaan kuadrat. Diketahui, kurva memotong garis x pada titik (2, 0) dan (4, 0). Sehingga, dari persamaan di atas dapat diperoleh hasil sebagai berikut.

    \[ y = a(x - 2)(x - 4) \]

Kurva diketahui melalui titik (0, 4). Substitusi nilai pada titik tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai a.

    \[ y = a(x - 2)(x - 4) \]

    \[ 4 = a(0 - 2)(0 - 4) \]

    \[ a = 8a \]

    \[ a = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Jadi, diperoleh persamaan kuadrat seperti gambar pada soal adalah sebagai berikut.

    \[ y = \frac{1}{2} (x - 2)(x - 4) \]

    \[ y = \frac{1}{2} \left( x^{2} - 4x - 2x + 8 \right) \]

    \[ y = \frac{1}{2} \left( x^{2} - 6x + 8 \right) \]

Jawaban: C

Demikianlah ulasan tentang soal dan pembahasan persamaan kuadrat baru. Meliputi soal dan pembahasan persamaan kuadrat untuk level kognitif penalaran. Serta Soal fungsi kuadrat untuk tingkat level yang sama. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga:

Atau kembali ke halaman utama bahas tuntas kisi – kisi UN Matematika IPA 2019.