Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat yang diberikan melalui halaman ini adalah kumpulan soal dengan materi persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Di mana kesulitan soal yang diberikan setara dengan soal ujian nasional, sesuai untuk level kognitif aplikasi. Kumpulan soal persamaan dan fungsi kuadrat yang diberikan telah dilengkapi dengan pembahasannya.

Persamaan Kuadrat

Contoh 1 – Latihan soal UN 2019

Persamaan kuadrat x^{2} - 5x +6 = 0 mempunyai akar-akar x_{1} dan x_{2}. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x_{1} - 3 dan x_{2} - 3 adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - 2x = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 2x + 30 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + x = 0 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} + x - 30 = 0 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; x^{2} + x + 30 = 0 \]

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat:

    \[ x^{2} - 5x + 6 = 0 \]

Maka:

    \[ x_{1} +  x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-5}{1} = 5 \]

    \[ x_{1} \cdot  x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 \]

Persamaan kuadrat dengan akar-akar x_{1} - 3 dan x_{2} - 3 adalah

    \[ \alpha = x_{1} - 3 \]

    \[ \beta = x_{2} - 3\]

    \[ \alpha + \beta =  x_{1} - 3 + x_{2} - 3 \]

    \[ \alpha + \beta =  x_{1} + x_{2} - 6 \]

    \[ \alpha + \beta =  5 - 6 = - 1 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  \left( x_{1} - 3 \right)  \left(  x_{2} - 3 \right) \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  x_{1} \cdot x_{2} - 3x_{1} - 3x_{2} + 9 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  x_{1} \cdot x_{2} - 3 \left(x_{1} + x_{2} \right) + 9 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  6 - 3 \cdot 5 + 9 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  6 - 15 + 9 = 0 \]

Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:

    \[  x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0 \]

    \[  x^{2} -  (-1)x + 0 = 0 \]

    \[  x^{2} + x + 0 = 0 \]

Jawaban: C

Contoh 2 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Jika x_{1} dan x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat x^{2} - x + 2 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x_{1} - 2 dan 2x_{2} - 2 adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; 8x^{2} + 2x + 1 = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} + 8x + 2 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 2x + 8 = 0 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} - 8x - 2 = 0 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; x^{2} - 2x + 8 = 0 \]

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat:

    \[ x^{2} - x + 2 = 0 \]

Maka:

    \[ x_{1} +  x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-1}{1} = 1 \]

    \[ x_{1} \cdot  x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2 \]

Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2x_{1} - 2 dan 2x_{2} - 2 adalah

Misalkan akar-akar persamaan baru adalah \alpha dan \beta

    \[ \alpha = 2x_{1} - 2 \]

    \[ \beta = 2x_{2} - 2 \]

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

    \[ \alpha + \beta =  2x_{1} -  2 + 2x_{2} - 2 \]

    \[ \alpha + \beta =  2 \left( x_{1} + x_{2}\right) - 4 \]

    \[ \alpha + \beta =  2 \cdot 1 - 4 = - 2 \]

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

    \[ \alpha \cdot \beta =  \left( 2x_{1} - 2 \right)  \left(  2x_{2} - 2 \right) \]

    \[ \alpha \cdot \beta = 4 \cdot x_{1}  x_{2} - 4 x_{1} - 4 x_{2} + 4 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  4 \cdot x_{1}  x_{2} - 4 \left( x_{1} + x_{2} \right) + 4 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 4 \]

    \[ \alpha \cdot \beta =  8 - 4 + 4 = 8 \]

Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:

    \[  x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0 \]

    \[  x^{2} -  (-2)x + 8 = 0 \]

    \[  x^{2} + 2x + 8 = 0 \]

Jawaban: C

Contoh 3 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Diketahui \alpha dan \beta akar-akar persamaan kuadrat 4x^{2} - 6x - 1 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2 \alpha - 1) dan (2 \beta - 1) adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - x - 3 = 0 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 3x + 1 = 0 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 2x - 2 = 0 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; 2x^{2} - 3x - 2 = 0 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; 2x^{2} + x - 2 = 0 \]

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat:

    \[ 4x^{2} - 6 x - 1 = 0 \]

Maka:

    \[ \alpha + \beta = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{4} = \frac{3}{2} \]

    \[ \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-1}{4} \]

Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 \alpha - 1 dan 2 \beta - 1 adalah

Misalkan akar-akar persamaan baru adalah x_{1} dan x_{2}

    \[ x_{1} = 2 \alpha - 1 \]

    \[ x_{2} = 2 \beta - 1 \]

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

    \[ x_{1} + x_{2} = 2 \alpha -  1 + 2 \beta - 1 \]

    \[ x_{1} + x_{2} = 2(\alpha + \beta) - 2 \]

    \[ x_{1} + x_{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 1 \]

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

    \[ x_{1} \cdot x_{2} =  \left( 2 \alpha - 1 \right)  \left(  2 \beta - 1 \right) \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} =  4 \alpha \beta - 2 \alpha - 2 \beta + 1 \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} =  4 \alpha \beta - 2 \left( \alpha + \beta \right) + 1 \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} =  4 \cdot - \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{3}{2} + 1 \]

    \[ x_{1} \cdot x_{2} =  - 1 - 3 + 1 = - 3 \]

Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:

    \[  x^{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right)x + x_{1} x_{2} = 0 \]

    \[  x^{2} -  x - 3 = 0 \]

Jawaban: A


Fungsi Kuadrat

Contoh 1 – Soal UN Fungsi Kuadrat

Perhatikan gambar di bawah ini!

Contoh soal fungsi kuadrat
Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} + 2x + 3 \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 2x - 3 \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; -x^{2} + 2x - 3 \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; -x^{2} - 2x + 3 \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; -x^{2} + 2x + 3 \]

Pembahasan:

Persamaan umum kuadrat dinyatakan melalui persamaan:

    \[ y = a(x - p)^{2} + q \]

Di mana titik (p, q) adalah titik puncak kurva. Deiktahui, kurva pada memiliki titik puncak (1, 4). Sehingga, dari persamaan di atas dapat diperoleh hasil sebagai berikut.

    \[ y = a(x - 1)^{2} + 4 \]

Kurva diketahui melalui titik (0, 3). Substitusi nilai pada titik tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai a.

    \[ 0 = a(3 - 1)^{2} + 4 \]

    \[ 0 = 4a + 4 \]

    \[ 4a = - 4 \rightarrow a = -1 \]

Jadi, diperoleh persamaan kuadrat seperti gambar pada soal adalah sebagai berikut.

    \[ y = -1 (x - 1)^{2} + 4 \]

    \[ y = -1 (x^{2} -2x + 1) + 4 \]

    \[ y = - x^{2} + 2x - 1 + 4 \]

    \[ y = - x^{2} + 2x + 3 \]

Jawaban: E

Demikianlah ulasan tentang soal dan pembahasan persamaan kuadrat baru. Meliputi soal dan pembahasan persamaan kuadrat untuk level kognitif aplikasi. Serta Soal fungsi kuadrat untuk tingkat level yang sama. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga:

Atau kembali ke halaman utama bahas tuntas kisi – kisi UN Matematika IPA 2019.