Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah …

Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah … satuan volume.
A. 8π
B. 13/2π
C. 4π
D. 8/3π
E. 5/4π

Jawab: D

Ada dua cara untuk menghitung volume benda putar yaitu metode cakram dan metode kulit tabung. Penggunaan dua metode tersebut dibedakan berdasar partisi potongan yang dibuat.

Langkah-langkah menentukan volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y:

  • Menggambar daerah yang dibatasi kurva untuk menentukan metode mana yang paling tepat digunakan
  • Menentukan batas pengintegralan
  • Menghitung volume benda putar

Bagaimana cara menghitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y terdapat pada 3 langkah di bawah,

1) Menggambar daerah yang dibatasi kurva

Sebelumnya perlu mengetahui bagaimana bentuk daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 terlebih dahulu. Daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut sesuai dengan gambar berikut.

Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah

Partisi dapat dibuat pada daerah yang dibatasi kurva dan tegak lurus dengan seumbu putar (sumbu y). Sehingga rumus volume benda putar dapat menggunakan metode cakram.

Rumus yang digunakan:

V = π ʃ b f2(x) dx

Di mana a dan b adalah batas pengintegralan atau titik potong garis dengan kurva.

2) Menentukan batas pengintegralan

Batas integral dari volume benda putar yang dapat diperoleh dari perpotongan kurva yang membatasi daerah pengintegralan.

Dari soal diketahui persamaan kurva y = -x2 + 4 dan garis y = -2x + 4. Titik potong kurva dan garis diperoleh dengan membuat persamaan y seperti penyelesaian berikut.

Mendapatkan titik potong kurva:
−x2 + 4 = −2x + 4
x2 − 2x + 4 − 4 = 0
x2 − 2x = 0
x(x − 2) = 0

Dapat diperoleh dua nilai x yaitu x1 = 0 dan x2 = 2. Substitusi kedua nilai tersebut untuk mendapatkan batas pengintegralan pada sumbu y.

Untuk x1 = 0:
y = −2(0) + 4
y = 0 + 4 = 4

Untuk x2 = 2:
y = −2(2) + 4
y = −4 + 4 = 0

Didapat batas pengintegralan pada sumbu y yaitu a = 0 dan b = 4

3) Menghitung volume benda putar

Rumus yang akan digunakan untuk menghitung volume volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y dalah V = π ʃ b f2(x) dx. Di sini a dan b berada pada sumbu y sehingga perlu untuk membentuk persamaan x12 dan x22 dalam variabel y.

Membentuk persamaan x12:
y = −x2 + 4
x2 = 4 − y

Membentuk persamaan x22:
y = −2x + 4
2x = 4 − y
x = 1/2(4 − y)
x2 = 1/2(4 − y)2
x2 = 1/2y2 − 4y + 8

Diperoleh dua fungsi f2(y) yaitu x12 = 4 − y dan x22 = 1/2y2 − 4y + 8.

Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y dihitung seperti langkah berikut.

Jadi, volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y adalah V = 8/3π satuan volume.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Exit mobile version